Essays.club - Получите бесплатные рефераты, курсовые работы и научные статьи
Поиск

Преобразование Фурье

Автор:   •  Март 1, 2022  •  Лекция  •  673 Слов (3 Страниц)  •  249 Просмотры

Страница 1 из 3

Лекция 5

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

5 Ряды Фурье

      5.1Тригонометрические ряды

5.1.1 Определение периодической функции

Функция , определенная на множестве, называется периодической если существует такое число, что при каждом, значение и выполняется равенство.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Наименьшее из таких чисел называют основным периодом функции (рисунок 5.1)[pic 7]

Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции и  (рисунок 5.2)[pic 8][pic 9]

Период этих функций равен , т. е. .[pic 10][pic 11]

Простейшим периодическим процессом (движением) является простое гармоническое колебание (движение), описываемое функцией

[pic 12]

где А – амплитуда колебания, - частота, - начальная фаза (рисунок 5.3)[pic 13][pic 14]

Функцию такого вида называют простой гармоникой. Основным периодом функции является , т. е. одно полное колебание совершается за промежуток времени [pic 15]

(показывает, сколько колебаний совершает точка в течениеединиц времени).[pic 16][pic 17][pic 18]

Иначе это частота колебаний.[pic 19]

[pic 20]

Рисунок 5.1 График периодической функции

[pic 21]

Рисунок 5.2 Графики функций и [pic 22][pic 23]

Проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора – А, круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора  и начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный времени .[pic 24][pic 25]

[pic 26]

Рисунок 5.3 График простого гармонического колебания

[pic 27]

5.1.2 Сложное гармоническое колебание

Сложное гармоническое колебание (периодический процесс), возникающее в результате наложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также описывается функциями вида и  (рисунок 5.4)[pic 28][pic 29]

Начнём со значений функций:

[pic 30]

[pic 31]

При любом натуральном значении :[pic 32]

  1. . [pic 33]

И в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:

.[pic 34]

В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .[pic 35]

  1. . [pic 36]

А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»:[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

Отрицательный аргумент дела не меняет: .[pic 43]

Совокупность гармонических колебаний, на которые разложено сложное колебание, называется гармоническим спектром сложного колебания.

[pic 44]

Рисунок 5.4 График сложных гармонических колебаний

[pic 45]

Первые четыре частичных сумм ряда Фурье для квадратной волны

https://ru.qaz.wiki/wiki/Fourier_series

Рассмотрим несколько примеров на   интегрирование  различных видов периодических функций .Для облегчения понимания дальнейшего материала полезно вспомнить и  возобновить навыки вычисления подобных интегралов.

5.1.3  Примеры

Вычислить определённые интегралы

[pic 46]

где  принимает натуральные значения.[pic 47]

Решение: интегрирование проводится по переменной «x» и на данном этапе дискретная переменная «n» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала:

...

Скачать:   txt (10.7 Kb)   pdf (472.5 Kb)   docx (815.8 Kb)  
Продолжить читать еще 2 страниц(ы) »
Доступно только на Essays.club