Преобразование Фурье
Автор: kaisarskyy • Март 1, 2022 • Лекция • 673 Слов (3 Страниц) • 192 Просмотры
Лекция 5
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
5 Ряды Фурье
5.1Тригонометрические ряды
5.1.1 Определение периодической функции
Функция , определенная на множестве, называется периодической если существует такое число, что при каждом, значение и выполняется равенство.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]
Наименьшее из таких чисел называют основным периодом функции (рисунок 5.1)[pic 7]
Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции и (рисунок 5.2)[pic 8][pic 9]
Период этих функций равен , т. е. .[pic 10][pic 11]
Простейшим периодическим процессом (движением) является простое гармоническое колебание (движение), описываемое функцией
[pic 12]
где А – амплитуда колебания, - частота, - начальная фаза (рисунок 5.3)[pic 13][pic 14]
Функцию такого вида называют простой гармоникой. Основным периодом функции является , т. е. одно полное колебание совершается за промежуток времени [pic 15]
(показывает, сколько колебаний совершает точка в течениеединиц времени).[pic 16][pic 17][pic 18]
Иначе это частота колебаний.[pic 19]
[pic 20]
Рисунок 5.1 График периодической функции
[pic 21]
Рисунок 5.2 Графики функций и [pic 22][pic 23]
Проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора – А, круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора и начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный времени .[pic 24][pic 25]
[pic 26]
Рисунок 5.3 График простого гармонического колебания
[pic 27]
5.1.2 Сложное гармоническое колебание
Сложное гармоническое колебание (периодический процесс), возникающее в результате наложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также описывается функциями вида и (рисунок 5.4)[pic 28][pic 29]
Начнём со значений функций:
[pic 30]
[pic 31]
При любом натуральном значении :[pic 32]
- . [pic 33]
И в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:
.[pic 34]
В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .[pic 35]
- . [pic 36]
А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»:[pic 37]
[pic 38]
[pic 39]
[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
Отрицательный аргумент дела не меняет: .[pic 43]
Совокупность гармонических колебаний, на которые разложено сложное колебание, называется гармоническим спектром сложного колебания.
[pic 44]
Рисунок 5.4 График сложных гармонических колебаний
[pic 45]
Первые четыре частичных сумм ряда Фурье для квадратной волны
https://ru.qaz.wiki/wiki/Fourier_series
Рассмотрим несколько примеров на интегрирование различных видов периодических функций .Для облегчения понимания дальнейшего материала полезно вспомнить и возобновить навыки вычисления подобных интегралов.
5.1.3 Примеры
Вычислить определённые интегралы
[pic 46]
где принимает натуральные значения.[pic 47]
Решение: интегрирование проводится по переменной «x» и на данном этапе дискретная переменная «n» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала:
...