Теорія ймовірностей та математична статистика

«Теорія ймовірностей та математична статистика», частина 1

МОДУЛЬ 1. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ

ЛЕКЦІЯ 1

Вступ. Основні поняття теорії ймовірностей

Одним з найважливіших понять у теорії ймовірностей є поняття експерименту.

Експеримент полягає у тому, що здійснюється випробування за виконання деякого набору умов, які або створюються штучно, або реалізуються незалежно від волі експериментатора. Експеримент заданий, якщо визначені його умови і вказані події, настання або ненастання яких слід спостерігати.

Експерименти можуть бути:

– детермінованими – їх результати заздалегідь передбачувані на основі природничо-наукових законів;

– випадковими (стохастичними) або ймовірнісними – за одних й тих же умов можливо настання подій, що виключають одна одну.

Теорія ймовірностей – це розділ математики, що вивчає методи побудови і аналізу математичних моделей випадкових (стохастичних) експериментів.

Стохастичні експерименти, які розглядаються у теорії ймовірностей, мають наступні властивості:

1. Повторюваність. У дослідника є можливість (хоча б принципова) необмежено здійснювати експеримент у незмінному комплексі зовнішніх умов.

2. Стійкість відносних частот. У стохастичному експерименті спостерігається подія [pic 1]. Експеримент повторюють у незмінних умовах [pic 2] раз (тобто маємо серію з [pic 3] експериментів). Нехай [pic 4] – кількість експериментів з цієї серії, у яких мала місце подія [pic 5]. Відношення

        [pic 6]

називається відносною частотою події [pic 7] у проведеній серії експериментів.

Якщо за великих [pic 8] відносна частота [pic 9] події [pic 10] мало відрізняється від деякого фіксованого значення [pic 11], то подія [pic 12] (та його відносна частота) є стохастично стійкою. Число [pic 13] при цьому є ймовірністю події [pic 14].

Частота може бути обчислена лише після проведення серії експериментів і, взагалі кажучи, частота змінюється, якщо провести іншу серію з [pic 15] експериментів або змінити [pic 16]. Однак, як показує досвід, при достатньо великих [pic 17] для більшості таких серій експериментів частота майже не змінюється, причому великі відхилення мають місце тим рідше, чим більше [pic 18].

Наприклад, якщо багато разів підкидати симетричну монету, то частота появи герба в довгих серіях експериментів мало відрізняється від [pic 19] (табл. 1.1).

Таблиця 1.1 – Результати стохастичного експерименту з підкидання симетричної монети

Основні задачі теорії ймовірностей:

1) формалізація поняття ймовірності і вивчення загальних властивостей математичних об’єктів, у яких введено поняття ймовірності;

2) створення та вивчення різних ймовірнісних моделей, які містять конкретні ситуації, що виникають у людській практичній діяльності або під час вивчення природи, і описуються за допомогою теоретико-ймовірнісних понять.