Моделирование многоканальных систем массового обслуживания

[pic 1]                        КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

                                                  ЭНЕРЕГТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ[pic 2]

Кафедра ИК

Дисциплина:

«Теория массового обслуживания»

Лабораторная работа № 6

«Моделирование многоканальных систем массового обслуживания»

  Выполнила: студентка гр. ПМ-1-16

Розенфельд В.Н.

Казань, 2019

Цель работы: практически освоить моделирование систем массового обслуживания в программной среде Matlabпри пуассоновском входном потоке требований, экспоненциальном обслуживании и возможном уходе из очереди также по экспоненциальному закону. Цель моделирования – получение операционных характеристик.

 Моделирования системы типа M/M/m/K.

Алгоритм моделирования системы типа M/M/m/K:

1. Для начала изобразим размеченный граф состояний заданной системы, где λ - интенсивность входного потока требований, μ - интенсивность обслуживания одном прибором.

[pic 3]

1. Составить дифференциальные уравнения (уравнения Колмогорова) относительно вероятностей состояний. Производная вероятности любого состояния равна сумме потоков вероятности, переводящих систему в это состояние, минус сумма всех потоков вероятности, выводящих систему из этого состояния

[pic 4]

1. Для решения систем дифференциальных уравнений данного типа обычно задают естественные начальные условия: P0(0)=1, Pi(0)=0.
2. Далее приравнять производные к нулю и получить соотношения для расчета стационарных вероятностей состояний системы. При этом используется нормировочное условие для n=5.

Пример моделирования системы типа M/M/m/Kв Matlab.

functionMMmK;

clc,close

L = 3.52;

M = 0.678;

m = 4;

K = 7;

global A

A = [-L,M,0,0,0,0,0,0;

L,-(L+M),2*M,0,0,0,0,0;

0,L,-(L+2*M),3*M,0,0,0,0;

0,0,L,-(L+3*M),4*M,0,0,0;

0,0,0,L,-(L+4*M),4*M,0,0;

0,0,0,0,L,-(L+4*M),4*M,0;

0,0,0,0,0,L,-(L+4*M),4*M;

0,0,0,0,0,0,L,-4*M];

%% численное интегрирование дифф. уравнений

P0 = [1;zeros(length(A)-1,1)];

T = [0,20];

[t,P] = ode23(@cmo, T, P0);

%% построение диаграммы вероятностей состояний

%% line(t,P,'linew',2) %% с различными цветами

line(t,P(:,1),'linew',2, 'color','r') %% Po

line(t,P(:,2), 'linew',2,'lines','--') %% P1

line(t,P(:,3), 'linew',2,'lines','-.') %% P2

line(t,P(:,4), 'linew',2,'lines',':') %% P3

line(t,P(:,5), 'marker','o', 'color', 'm') %% P4

line(t,P(:,6), 'marker','h', 'color','k') %% P5

line(t,P(:,7), 'marker','p','color','r') %% P6

line(t,P(:,8), 'marker','>') %% P7

gridon

N = length(A)-1;

arr = [0:N]';

str = num2str(arr);

legend(strcat('\bf\itP\rm\bf_', str, '(\itt\rm\bf)'));

title(sprintf('%s Вероятностисостоянийсистемы M/M/%d/%d', '\bf\fontsize{12}',m, K));

xlabel('\bf\it\fontsize{12} -  -  -  -  -  -  -  -   t   -  -  -  -  -  -  -  -')

ylabel('\bf\fontsize{12}\itP\rm\bf(\itt\rm\bf)');

set(gca, 'fontweight','bold', 'fontsize',10)

fprintf('\n Стационарные вероятности:\n');

for J = 1 : length(A)

fprintf('\tP%d = %f\n', J-1, P(end,J));

end

fprintf('\n\t ОПЕРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ:\n');

Pnot = P(end,end);

fprintf(' ВероятностьотказаPnot = %f\n', P(end,end));

Q = 1 - Pnot;

fprintf(' Относительная пропускная способность Q = %f\n', Q);