Машинная арифметика. Анализ погрешностей

Уфимский государственный авиационный технический университет

МАШИННАЯ АРИФМЕТИКА. АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТЕЙ.

Аннотация: Достоверность результатов, полученных при вычислениях на ЭВМ, зависят от точности математического описания реальной проблемы и от возникающих в процессе решения погрешностей. Применение компьютеров существенно расширило вычислительные возможности. При этом ничтожно малые ошибки, накапливаясь в процессе вычислений, могут привести к разрушительным последствиям. Поэтому важно знать типы погрешностей, возникающих при различных типах арифметических вычислений, а также уметь грамотно минимизировать их для получения максимально возможно точного результата.

Ключевые слова: формы представления действительных чисел, классификация погрешностей, погрешности при выполнении арифметических операций.

Машинным изображением числа является его представление в разрядной сетке ЭВМ. Существуют две формы представления действительных чисел в ЭВМ: естественная (форма с фиксированной запятой) и нормальная (форма с плавающей запятой).

В форме с фиксированной запятой в разрядной сетке выделяется строго определенное число разрядов для целой и для дробной частей числа. Левый (старший) разряд хранит признак знака (0 означает знак «+», 1 означает знак «–») и для записи числа не используется.

[pic 1]

Представление чисел в естественной форме упрощает аппаратную реализацию ЭВМ и уменьшает время выполнения машинных арифметических операций. Но необходимо следить, чтобы все исходные данные, промежуточные и окончательные результаты находились в допустимом диапазоне представления. В противном случае возможно переполнение разрядной сетки, и результат вычислений будет неверным. Причиной переполнения является суммирование двух чисел с одинаковыми знаками, которые в сумме дают величину, большую или равную 1. Таким образом, в результате сложения двух положительных чисел получается отрицательное число, что является ошибкой. Здесь результат неверен и по величине.

В значительной степени подобные недостатки устранены в ЭВМ, работающих с числами с плавающей запятой. Нормальная форма представления числа включает обширный диапазон чисел и является основой современных ЭВМ. Формат с плавающей точкой выглядит следующим образом: , где M - мантисса числа, 1>M≥, р - основание системы счисления, r – порядок или показатель степени. В представлении чисел с плавающей запятой часть разрядов ячейки отводится под запись порядка числа, а остальные разряды служат для записи мантиссы (дробной части числа).[pic 2][pic 3]

[pic 4]

Для оценки погрешностей вводятся понятия абсолютной и относительной погрешности. Абсолютная погрешность – это разница между результатом измерения и истинным (действительным) значением измеряемой величины. Пусть  – точное значение некоторой величины,  – известное приближение к нему, то абсолютная погрешность приближенного значения  .[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

Относительной погрешностью приближенного значения называют некоторую величину , которая выражается отношением .[pic 9][pic 10]

Так как величина , как правило, неизвестна, а погрешность необходимо определить, то вводится понятие предельная абсолютная погрешность : . Раскрыв модуль, получим соотношение, задающее отрезок, которому принадлежит точное значение: .[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

Таким образом, величина  находится в удвоенной Δ-окрестности, определяемой величинами  и  и составляющей отрезок [х1, х2]:[pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

Предельная относительная погрешность приближения   определяется отношением . Отсюда получается часто используемое соотношение: =.[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

Важно сознавать, что вычислительная машина всегда имеет ограниченную точность, скорость, память, надежность, подвержена неконтролируемым воздействиям, и результаты на ее выходе характеризуются ограниченной адекватностью.