Численные (или вычислительные) методы

Численные (или вычислительные) методы – это методы решения типовых задач математики, которые наиболее часто встречаются на практике, в численном виде. К ним, например, относятся: вычисление определенных интегралов, решение систем линейных алгебраических уравнений, приближение функций и др. Отличительной чертой численных методов является то, что в исходных данных задано число или набор чисел, и решение получается также в виде числа или набора чисел.

Этапы вычислительного эксперимента

Основным методом получения знаний при исследовании реальных объектов и сложных процессов в настоящее время являются моделирование и вычислительный эксперимент, т.е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики. Схема вычислительного эксперимента может включать в себя несколько этапов, обычно их классифицируют следующим образом:

1. Постановка задачи – это конкретная формулировка задачи на профессиональном языке, выделение исходной информации (что дано) для решения этой задачи и четкое определение конечных целей, т.е. какие и в каком виде должны быть получены результаты (не количественные значения величин, а непосредственное определение элементов с их признаками и типами данных).
2. Математическая модель (построение\уточнение). Под моделью понимается образ системы, подобный ей в конечном числе отношений. Математическая модель обычно использует представление свойств и отношений исследуемой системы в форме уравнений или системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и т.п.).
3. Численный метод. Под численным методом понимается такая интерпретация математической модели в виде дискретной модели, которая доступна для реализации на ЭВМ и сводится к выполнению конечного числа арифметических действий над числами.
4. Программирование – запись разработанного алгоритма в виде программы, т.е. конечной последовательности операторов любого языка (или среды) программирования, и тестирование
5. Анализ результатов (возврат на любой из предыдущих этапов).

Понятие численного метода, его свойства и особенности

Среди этапов вычислительного эксперимента выделяют этап решения математической задачи с помощью численного метода. При этом исследуются вопросы построения, применения и теоретического обоснования алгоритмов приближенного решения различных классов математических задач (алгебры, анализа, математической физики). Теоретическое обоснование численного метода подразумевает доказательство соответствия метода определенным требованиям: корректности, точности, устойчивости и сходимости метода к точному решению.

Общим для всех численных методов является:

• Сведение математической задачи к конечномерной (чаще всего путем дискретизации исходной математической модели).
• Результатом реализации численного метода является число или таблица чисел.
• Реализуемость численного метода, т.е. построение вычислительного алгоритма как последовательности конечного числа операций для получения результата и ориентация этого алгоритма на возможности ЭВМ.
• Множественность, т.е. возможность решения одной и той же задачи различными методами.

При использовании численных методов для решения математических задач необходимо различать свойства самой задачи и свойства вычислительного алгоритма, предназначенного для ее решения. Для каждой математической задачи, прежде всего, принято рассматривать вопрос о ее корректности.

Определение. Говорят, что задача поставлена корректно, если:

1. задача разрешима при любых допустимых исходных данных, т.е. существует принципиальная возможность получить решение с любой точностью;
2. это решение является единственным;
3. задача является устойчивой, т.е. непрерывно зависит от входных данных (малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения).

Если задача неустойчива, то она считается некорректной даже при наличии единственного решения. Для решения корректных и некорректных задач используются различные методы. Заметим, что численный метод решения корректной задачи может оказаться неустойчивым. Поэтому свойства численных методов даже для корректной математической задачи должны изучаться особо.