Чисельнi методи

ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

МОДУЛЬНА КОНТРОЛЬНА РОБОТА №1

Задача 1. Кожне ребро куба, виміряне з точністю 0,02 см виявилося рівним 15 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчислені площі куба.

Розв’язання:

Ребро куба позначимо буквою a. В цьому випадку площа куба буде обчислюватися по формулі;

Виходячи з умов задачі отримуємо наступне:

(см2.)

Використовуючи формулу , отримаємо

(см2)

і

.

Задача 2. Відділити корені аналітично та уточнити один з них методом Ньютона з точністю до 0,01:

Розв’язання:

Здійснимо розгляд функції

Вочевидь функція визначена для всіх значень аргументу. Здійснимо пошук похідної

Прирівнявши похідну до нуля визначаєм критичні точки, тобто, точки можливих екстремумів

Як бачимо є три критичні точки, які розбивають область визначення на інтервали. Проведемо визначення знаку функції на отриманих інтервалах

-2

0

+ - - +

Після чого, взявши за основу теорему про те, що якщо монотонна функція на краях інтервалу принімає значення різних знаків, то на цьому інтервалі є корінь рівняння , можна говорити, що в заданому рівнянні є два дійсних корені. Методом підбору звужуємо інтервали ізоляції коренів

-3 -2 1 2

+ - - +

Як результат отримуємо

Уточнення, приклад правий корінь методом Ньютона. Для цього необхідно для початку вибрати нульове наближення кореня виходячи із умови збереження знаку функції та її другої похідної. Таким чином можна знайти другу похідну

Наступним кроком буде обчислення значення функції та її другої похідної на краях відрізка

і так як , то за нульове наближення варто прийняти

Для уточнення використовуємо робочу формулу методу Ньютона

Ознакою завершення ітераційного процесу вважається виконання умови .

Ітерація 0

визначаємо точність

точність не досягнута, продовжуємо

Ітерація 1

визначаємо точність

точність не досягнута, продовжуємо

Ітерація 2

визначаємо точність

точність не досягнута, продовжуємо

Ітерація 3

визначаємо точність

точність досягнута.

Відповідь:

Задача 3. Методом Гаусса розв’язати СЛАР з точністю до 0,001:

Розв’язання:

Систему спочатку необхідно привести у вигляд, що гарантуватиме збіжність. Однією з таких умов збіжності являється умова діагональної переваги. Вочевидь, що для заданої системи ця умова виконується.

Метод Гауса – Зейделя передбачає застосування попередніх значень на кожному етапі обчислення. Ознакою завершення ітераційного