Чисельнi методи
Автор: Sollla Ssss • Апрель 23, 2021 • Контрольная работа • 728 Слов (3 Страниц) • 384 Просмотры
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ
МОДУЛЬНА КОНТРОЛЬНА РОБОТА №1
Задача 1. Кожне ребро куба, виміряне з точністю 0,02 см виявилося рівним 15 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчислені площі куба.
Розв’язання:
Ребро куба позначимо буквою a. В цьому випадку площа куба буде обчислюватися по формулі;
[pic 1]
Виходячи з умов задачі отримуємо наступне:
[pic 2] (см2.)
Використовуючи формулу [pic 3], отримаємо
[pic 4] (см2)
і
[pic 5].
Задача 2. Відділити корені аналітично та уточнити один з них методом Ньютона з точністю до 0,01: [pic 6]
Розв’язання:
Здійснимо розгляд функції
[pic 7]
Вочевидь функція визначена для всіх значень аргументу. Здійснимо пошук похідної
[pic 8]
Прирівнявши похідну до нуля визначаєм критичні точки, тобто, точки можливих екстремумів
[pic 9]
Як бачимо є три критичні точки, які розбивають область визначення на інтервали. Проведемо визначення знаку функції на отриманих інтервалах
[pic 10] | [pic 11] | -2 | [pic 12] | 0 | [pic 13] | [pic 14] |
[pic 15] | + | - | - | + |
Після чого, взявши за основу теорему про те, що якщо монотонна функція [pic 16] на краях інтервалу [pic 17] принімає значення різних знаків, то на цьому інтервалі є корінь рівняння [pic 18], можна говорити, що в заданому рівнянні є два дійсних корені. Методом підбору звужуємо інтервали ізоляції коренів
[pic 19] | -3 | -2 | 1 | 2 | |
[pic 20] | + | - | - | + |
Як результат отримуємо
[pic 21]
Уточнення, приклад правий корінь методом Ньютона. Для цього необхідно для початку вибрати нульове наближення кореня виходячи із умови збереження знаку функції та її другої похідної. Таким чином можна знайти другу похідну
[pic 22]
Наступним кроком буде обчислення значення функції та її другої похідної на краях відрізка
[pic 23]
і так як [pic 24], то за нульове наближення варто прийняти [pic 25]
Для уточнення використовуємо робочу формулу методу Ньютона
[pic 26]
Ознакою завершення ітераційного процесу вважається виконання умови [pic 27].
Ітерація 0
[pic 28]
визначаємо точність
[pic 29]
точність не досягнута, продовжуємо
Ітерація 1
[pic 30]
визначаємо точність
[pic 31]
точність не досягнута, продовжуємо
Ітерація 2
[pic 32]
визначаємо точність
[pic 33]
точність не досягнута, продовжуємо
Ітерація 3
[pic 34]
визначаємо точність
[pic 35]
точність досягнута.
Відповідь: [pic 36]
Задача 3. Методом Гаусса розв’язати СЛАР з точністю до 0,001:
[pic 37]
Розв’язання:
Систему спочатку необхідно привести у вигляд, що гарантуватиме збіжність. Однією з таких умов збіжності являється умова діагональної переваги. Вочевидь, що для заданої системи ця умова виконується.
...