Формула Герона

! Согласно арабским источникам, впервые данный способ для вычисления площади треугольника был открыт Арихимедом, но его записи не сохранились.^[3]

! Герон рассматривал треугольники с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми числами. Такие треугольники называют Героновыми.

! «Метрика» Герона и извлечённые из неё «Геометрика» и «Стереометрика» представляют собой справочники по прикладной математике.

! Изложения Герона об открытиях почти не содержали доказательства, а если содержали, то были кратки и точны. Чаще свои изобретения он представлял в изображениях, а математические открытия - в примерах.

Доказательство формулы Герона^[4][pic 4]

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB=c, BC=a, AC=b. [pic 5]

В любом треугольнике по крайней мере два угла острые.

Пусть A и B – острые углы треугольника ABC.

Тогда основание H высоты CH треугольника лежит на стороне AB.

Введём обозначения: CH=h, AH=y, HB=x. 

По теореме Пифагора a2 - x2=h2=b2 - y2 , откуда y2 - x2=b2 - a2, или (y - x)(y + x)=b2 - a2.

Так как y+x=c. то y-x=1/c(b2-a2).

Сложив два последних равенства и разделив на 2, получим:  .[pic 6]

Поэтому [pic 7]

.[pic 8]

Следовательно, . Но , откуда и получаем [pic 9][pic 10][pic 11]

Пример задачи на использование формулы Герона.