Теорія функцій дійсної змінної

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Тернопільський національний педагогічний університет

імені Володимира Гнатюка

фізико-математичний факультет

кафедра математичного аналізу

кафедра інформатики

та методики викладання інформатики

Гупалюк Оксана Миколаївна

ДИПЛОМНА РОБОТА

Розробка електронного підручника

“Теорія функцій дійсної змінної”

для студентів ВНЗ

Наукові керівники:

доц. Лотоцький В. А.

доц. Маланюк П. М.

Тернопіль – 2005

Зміст

                                                                                                                                   ст.

Вступ………………………………………………………………..………………..3

Розділ 1. Елементи теорії міри……………………………………………………...7

§1. Означення міри відкритої множини. Вимірні множини. Міра вимірних множин. Властивості вимірних множин…………………………………………...7

§2. Зчисленна адитивність міри………………………………………...…………12

Висновок.…………………………….……………………………………………104
Література………………………………………………………………………...107

Вступ

Як відомо, є достатньо прості функції (як, наприклад, функція Діріхле), які не інтегровні за Ріманом. Спробуємо з'ясувати, аналізуючи введення рімановського процесу інтегрування, чому так виходить. Ми знаємо, що для одержання інтеграла Рімана, потрібно відрізок, де задана обмежена функція, розбити на елементарні відрізки. Потім в кожному із них взяти по точці, скласти відому нам інтегральну суму і, розглянувши всеможливі такі розбиття, знайти границю інтегральних сум, коли крок розбиття прямує до нуля. Якщо існує така границя і вона не залежить ні від способу розбиття ні від способу вибору точок на елементарних відрізках, то її і називають інтегралом Рімана. заданої функції. Щоб існувала така границя потрібно, щоб при достатньо малих кроках розбиттів інтегральні суми мало змінювались при зміні точок в межах елементарних відрізків, а це буде тоді, коли функція є такою, що малим змінам аргументу відповідає мала зміна її значень, а це, як відомо, властивість, яка притаманна неперервним функціям. Таким чином, вже побічний аналіз означення рімановського процесу інтегрування приводить нас до того, що він ефективний для неперервних функцій або в якомусь розумінні близьких до них. Що стосується функції Діріхле, то вона до таких не належить, бо незначна зміна значення аргументу (перехід від раціональної точки до ірраціональної) різко змінює її значення (з 1 на 0). Саме через це вона і не інтегровна за Ріманом.

Чи можна щось зробити для того, щоб процес інтегрування охоплював ширший клас функцій (куди входила б і наша функція Діріхле)? Якщо можна, то хіба що за рахунок того, що дещо по-іншому розбивати область визначення функції на елементарні так, щоб зміна точок на цій множині спричинювала незначну зміну значень функції, а це можна зробити, наприклад, розбиваючи область інтегрування на елементарні множини не за принципом близькості точок в цих множинах (як це є в інтегралі Рімана), а за принципом близькості в цих точках значень функції. Але щоб реалізувати цю ідею потрібно бути готовим розв'язати наступну проблему: тільки-що згадані множини, очевидно, не зобов'язані бути відрізками, а для утворення сум, що приводять до інтеграла, потрібно "міряти" такі множини, чого ми не вміємо поки-що робити. Тому найближчою нашою задачею є побудова теорії, яка дозволила б вирішити поставлену вище проблему. Це так звана теорія міри, яка завдячує своєю появою відомому французькому математику А.Л.Лебегу, якому належить і новий процес інтегрування, в якому реалізована висловлена нами вище ідея.