Метод Гаусса (с выбором главного элемента)

Методы решения

Метод Гаусса (с выбором главного элемента)

Метод Гаусса состоит из прямого и обратного хода. Прямой ход метода Гаусса представляет собой цикл по k от 1 до (n-1), в котором преобразуются элементы расширенной матрицы системы. При записи алгоритма прямого хода мы будем использовать верхние индексы элементов расширенной матрицы, указывающие на номер шага прямого хода, в результате которого получено значение этого элемента. На k-ом шаге цикла прямого хода выполняются следующие действия:

1. Определение главного элемента в k-ом столбце, то есть вычисление числа М и номера строки p, таких, что

[pic 1].

Элемент  [pic 2] в этом случае называется главным элементом в k-ом столбце.

2. Если [pic 3], то производится обмен значениями элементов (перестановка) k-ой и p-ой строк расширенной матрицы:

[pic 4] ,   [pic 5];  [pic 6].

3. Если [pic 7], то следует выдать сигнал о том, что матрица системы близка к вырожденной, и закончить решение системы.  Здесь [pic 8] - заданное маленькое положительное число, например, [pic 9].

4. Деление k-ой строки расширенной матрицы на [pic 10]:

[pic 11] ,   [pic 12].

[pic 13].

5. Преобразования строк с номерами [pic 14]. Из i-й строки расширенной матрицы системы вычитается k-я строка, умноженная на [pic 15]:

[pic 16],

[pic 17], [pic 18],

[pic 19], [pic 20].

Полученная в результате прямого хода система уравнений решается последовательно снизу вверх. В этом и состоит обратный ход метода Гаусса. Алгоритм обратного хода метода Гаусса состоит в выполнении следующих действий:

1. Если [pic 21], то выдать сигнал о том, что матрица системы близка к вырожденной, и закончить решение системы.