Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиеттері
Автор: toizhan • Январь 12, 2018 • Доклад • 6,941 Слов (28 Страниц) • 1,810 Просмотры
- Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиеттері
Егер f функциясы ( a, b) аралығының барлық нүктелерінде (кең
мағынада) үзіліссіз, ал а нүктесінің оң жағынан және b нүктесінің сол жағынан (кең мағынада) үзіліссіз болса, онда ол [ a, b] кесіндісінде
(кең мағынада) үзіліссіз деп аталады.
Алдымен келесі Больцано-Коши теоремаларын қарасты-райық (1-теорема мен салдар туралы айтылып отыр).
1-теорема. Егер f функциясы [ a, b] кесіндісінде кең мағынада үзіліссіз және f ( a ) ⋅ f (b) • 0 , яғни f ( a) мен f (b) мәндерінің таңбалары әртүрлі болса, онда f (c) = 0 теңдігі орындалатындай ( a, b) аралығынан кем дегенде бір c нүктесі табылады (37-сурет).
[pic 1]
37-cурет
Анықтылық үшін f ( a) • 0, f (b) • 0 | деп алайық. d = | a + b |
1 | 2 | |
нүктесі [ a, b] кесіндісінің ортасы. Егер f ( d1 ) = 0 болса, онда теорема дәлелденді. Егер f ( d1 ) • 0 болса, онда [ d1 , b] =[ a1 , b1 ] деп, ал
- ( d1 ) • 0 болса, онда [a , d1 ] = [a1 ,b1 ] деп белгілейміз. Бұл екі жағдайда
да f ( a ) • 0, | f (b ) • 0 | болады. Әрі қарай [ a , b ] | кесіндісін қақ бөліп, | ||||||||||||||
1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||
алдыңғыдағыдай [ a2 , b2 ] | кесіндісін құраймыз, | сөйтіп процесс т.с.с. | |||||||||||||||
қайталана береді. Егер f ( d k ) ≠ 0, k =1, 2,... | болса, | онда {an }∞ | және | ||||||||||||||
n=1 | |||||||||||||||||
{bn }∞ | екі тізбек аламыз. | {an } | тізбегі | монотонды | өспелі | және | |||||||||||
n=1 | |||||||||||||||||
жоғарыдан b санымен шенелген, ал {bn } | монотонды кемімелі және | ||||||||||||||||
төменнен a | санымен | шенелген. | Олай | болса, | ∃ lim a | = c | және | ||||||||||
n→∞ | n | 1 | |||||||||||||||
∃ lim b | = c . Ал, lim(b − a ) = 0 | болатындықтан, | c = c | = c болады. | |||||||||||||
n→∞ n | 2 | n→∞ | n | n | 12 | ||||||||||||
Мына | теңсіздіктерді: | ∀n =1, 2,... | f ( an ) • 0, | f (bn ) • 0 | және f | ||||||||||||
функциясының [a,b] | кесіндісінде (кең мағынада) үзіліссіз екенін | ||||||||||||||||
пайдалансақ, lim f ( an ) = f (c) ≥ 0, | lim f (bn ) = f (c) ≤ 0, ал | бұл | екі | ||||||||||||||
n→∞ | n→∞ | ||||||||||||||||
теңсіздіктен f (c) = 0 | аламыз. | ||||||||||||||||
Бұл дәлелдеу f ( x) = 0 | теңдеуінің “қақ бөлу әдісі” деп аталатын | ||||||||||||||||
жуықтап шешу алгоритмін береді. | |||||||||||||||||
1-мысал. | x − cos x = 0 | теңдеуінің (0, π) | аралығында кем дегенде | ||||||||||||||
бір түбірі бар. Шынында да, | f ( x) = x − cos x | функциясы | [0, π] | ||||||||||||||
кесіндісінде үзіліссіз және | f (0) = −1 • 0, | f ( π) = π + 1 • 0 . | |||||||||||||||
2-мысал. | y = | 1 | функциясы | үшін | [ −1, 1] | кесіндісінде | |||||||||||
x | |||||||||||||||||
f ( −1) = −1 • 0, | f (1) =1, яғни | f ( −1) ⋅ f (1) • 0 | шарты орындал-ғанмен, |
...