Екі және үш еселі интегралдар және олардың қасиеттері

Лекция №6. Екі және үш еселі интегралдар және олардың қасиеттері. Екі еселі интегралда айнымалыны ауыстыру. Екі және үш еселі интегралдардың қолданулары.

Анықтама.  Егер  квадратталатын  жазық  G  фигурасын  [pic 1] бөліктеріне жіктегенде:  

1)  Фигура   G-нің   әрбір  нүктесі  ең  болмағанда  [pic 2]-нің [pic 3]  біреуінде  жатса;  2)  Барлық  [pic 4]  бөліктері   квадратталатын   болса;

3)[pic 5] пен  [pic 6]  бөліктеріне  [pic 7] тек  шендік  нүктелері  ғана  ортақ  болса,  G-нің  ондай  жіктелісін  дұрыс  жіктеме  деп  атаймыз.  

G    квадратталатын   жазық  фигура  болсын.  Сол    G  облысында  екі  айнымалы   x  пен   y –тің   функциясы  f(x, y)   анықталған  делік.  Дұрыс   жіктеменің   жәрдемімен   G  облысын    [pic 8]  түріндегі  сәйкес   аудандары  [pic 9]  болатын  n  бөлікке   жіктейміз.   Сонан  кейін  әрбір  [pic 10]  бөлігінің  ішінен   еркімізше [pic 11]  нүктесін   аламыз.  Ақырында,  берілген  f(x,y)  функциясының   [pic 12]   нүктесіндегі   [pic 13] мәнін  тауып,  оны   аудан  [pic 14]  көбейтіп,

[pic 15]                                                       (1)

қосындысын   құрсақ,  ол   G  облысында    берілген    f(x,y)  функциясы  үшін  интегралдық  қосынды   деп   аталады. Квадратталатын    G  облысын дұрыс    жіктеу   нәтижесінде   шыққан   [pic 16]    бөліктерінің   диаметрлерінің    ішіндегі   ең   үлкенін  [pic 17]   деп    белгілейік.

Анықтама.  Егер  [pic 18]  (2)    интегралдық   қосындының  шегі  бар  болып,  ол  шек G  облысын элементтар [pic 19] бөліктеріне жіктеу тәсілінен  де,  олардың  әрбіреуінде [pic 20] нүктесін   қалай   алу   тәсілінен   де  тәуелді болмаса,  f(x,y)   функциясы   G  облысында  (G  фигурасы  бойынша)  интегралданатын   функция  деп,  ал   шектік   мән    f(x,y)  функциясының   G  облысы  бойынша  екі  еселі  интегралы   деп  аталады да,  былай  белгіленеді:

[pic 21]                             (2)

Ескертпе.  Екі   еселі  (2)  интегралдың  анықтамасынан   f(x ,y)   функциясы   G   облысында   шенелген  болуы   міндетті    екені  айқын,   өйткені,  егер   ол   шенелмеген  болса, (1) интегралдық  қосындыны   мейлінше   үлкейтуге  болады,   демек,   оның   ақырлы   шегі   жоқ   болып    шығар   еді.

Екі   еселі    интегралдың   бар   болу   шарттары.

Функция   f(x,y) –тің   екі   еселі   интегралы   бар   болса,  ол   функция шенелген   болатындығы -  қажетті  ғана   шарт,   жеткілікті   шарт    емес.   Олай   екендігі   мына   мысалдан  көрінеді.

                Функция [pic 22] , [pic 23] квадратында      былай   анықталған:

        [pic 24]

Бұл  функция   берілген   квадратта   шенелген   болса  да,   оның    бүкіл   бойында   үзілісті,   сол  себепті    интегралдық    қосынды   ешқандай   шекке  ұмтылмайды.

Енді   f(x,y)   функциясынан    квадратталатын  облыс  G  бойынша  алынатын екі   еселі  интегралының  бар   болу   шарттарын   табу  мақсатында    әуелі  бір  аргумент функциясындағы   Дарбу   қосындыларындағы  сияқты,  мұнда  да  Дарбудың   жоғарғы және   төменгі   қосындылары   ұғымын  енгіземіз.

 f(x,y)  шенелген    функция   болғандықтан    m     мен    M     сандары  табылады  да,  m [pic 25] f(x,y) [pic 26] M арақатынасы    орындалады.

Енді  G  облысын   екі  еселі   интегралдың    анықтамасында   айтылған тәсілмен  [pic 27] бөліктеріне    жіктейміз.  Сонда  G  облысының  әрбір  [pic 28]  бөлігінде    f(x,y)   функциясы   үшін  дәл   төменгі    шен   [pic 29] мен    дәл   жоғарғы    шен   [pic 30] болады. Ақырында    Дарбудың   төменгі    және   жоғарғы  қосындылары    деп   аталатын

[pic 31]      мен      [pic 32]                                    (4)