Векторларды көбейту

6-Лекция

Лекция тақырыбы: Векторларды көбейту

Жоспары:

1. Векторлардың скаляр көбейтіндісі және оны қолдану.
2. Векторлардың векторлық көбейтіндісі және оны қолдану.
3. Векторлардың аралас көбейтіндісі және оны қолдану.

1. Векторлардың скаляр көбейтіндісі және оны қолдану

1-анықтама. [pic 1]  және [pic 2] екі вектордың скалярлық көбейтіндісі деп екі вектордың ұзындықтарының көбейтіндісін, олардың арасындағы [pic 3] бұрышының косинусына көбейткенге тең санды айтады, яғни

            [pic 4]                      (1)

2-анықтама. [pic 5]  және [pic 6] екі вектордың скалярлық көбейтіндісі деп  [pic 7] вектордың ұзындығын [pic 8]векторының [pic 9] векторына түсірілген проекциясына көбейтіндісін немесе [pic 10]вектордың ұзындығын[pic 11] векторының [pic 12]векторына түсірілген  проекциясына көбейтіндісін айтады, яғни

[pic 13]                            (2)

Скаляр көбейтіндінің негізгі қасиеттері:

1.  Екі вектордың скаляр көбейтіндісі нөлге тең, егер:

а)  [pic 14]

б)  векторлар бірі нөлдік  вектор болса.

Екі вектордың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болса [pic 15],  мұндай векторлар ортогональ  векторлар  деп аталады.

2.  [pic 16]

3.   [pic 17]  орын ауыстыру (коммутативтi) қасиеті

4.  [pic 18]  үлестірімділік (дистрибутивтi) қасиеті

5.  [pic 19]

6. [pic 20] және[pic 21] векторлары коллинеар болса, онда [pic 22]

Бірінші қасиет скалярлық көбейтіндінің анықтамасынан тікелей шығады.

Төртінші қасиеттің дәлелдеуін келтірейік

[pic 23]

Бұл жерде векторлардың сандық проекцияларының қасиеттерін және векторлардың скалярлық көбейтіндісiнің анықтамасын пайдаландық.

Бесінші қасиеттің дәлелдеуі:

[pic 24]

Осы қасиеттерден мыналар шығады:

[pic 25]

        [pic 26].        

Векторлардың коллинеарлық және ортогоналдық болу шарттары

Егер [pic 27] және [pic 28] векторлары коллинеарлы болса, онда оларды былай жазуға болады [pic 29]мұндағы [pic 30]

Олай болса [pic 31] онда [pic 32] яғни

[pic 33]                                              (3)

 (3)   формуланы векторлардың коллинеарлы болу шарттары деп атайды.

Егер (3)  формуланың бөлімдерінің біреуі немесе екеуі нөл болса, онда  оны нөлге бөлу деп түсінуге болмайды, олай жазылу векторлардың коллинеарлы болуының символикалық жазылуы деп түсіну керек. 

1-мысал. [pic 34] және [pic 35] векторлары коллинеар, себебі олардың координаттары  (3) шарты қанағаттандырады.

[pic 36]  олай болса [pic 37]

Егер [pic 38] және [pic 39] перпендикуляр  векторлар  болса, онда олардың  скалярлық  көбейтіндісі  нөлге  тең, яғни  [pic 40] Осыдан  

[pic 41]                                           (4)

(4)   формуланы  векторлардың  перпендикуляр  болу  шарты деп атайды.

Екі векторлардың  скалярлық  көбейтіндісінен, екі  векторлардың арасындағы бұрышты анықтауға болады. Скалярлық көбейтіндінің бірінші  анықтамасынан

[pic 42]  (5)  

2-мысал.   [pic 43] векторлары берілген. λ - ның қандай мәнінде векторлар перпендикуляр болады?  

         Шешуі:   (4)   формуланы пайдаланып

                  [pic 44] 

  [pic 45] және [pic 46] векторларының скаляр көбейтіндісін нөлге теңестіріп  λ - ның  мәнін табамыз: