Індивідуальна робота по "Вища математика"

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

Кафедра загальнонаукової підготовки

ІНДИВІДУАЛЬНА РОБОТА

з дисципліни

«ВИЩА МАТЕМАТИКА Ч.2»

9 варіант

Виконав студент групи ГЕС-10

Колишев Микита

Перевірив

к.ф-м.н Волков Ю. В

2018

І. Невизначений інтеграл

1. Обчислити невизначені інтеграли за таблицею.

[pic 1]

[pic 2]

Перевірка:

[pic 3]

[pic 4]

Перевірка:

[pic 5]

[pic 6]

2. Обчислити невизначені інтеграли методом заміни змінної.

[pic 7]

[pic 8]

Перевірка:

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Перевірка:

[pic 12]

3. Обчислити невизначені інтеграли методом інтегрування частинами.

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Перевірка:

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Перевірка:

[pic 24]

4. Обчислити невизначені інтеграли від виразів, що містять квадратний трьохчлен в знаменнику.

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

Перевірка:

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

Перевірка:

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

5. Обчислити невизначені інтеграли від тригонометричних функцій.

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

Перевірка:

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

Перевірка:

[pic 61]

[pic 62]

ІІ. Визначений інтеграл

1. Обчислити визначені інтеграли за таблицею або методом заміни змінної.

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

2. Обчислити визначені інтеграли методом інтегрування частинами.

[pic 69]

[pic 70]

[pic 71]

3. Дослідити на збіжність невласні інтеграли. У разі збіжності вказати значення інтегралів.

[pic 72]

[pic 73]

Інтеграл збігається.

[pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

Інтеграл збігається.

4. Знайти площу фігури, що обмежена наданими лініями. Зробити малюнок.

[pic 77]

Розв’язання

[pic 78]

[pic 79]

Знайдемо точки перетину графіка функції з віссю Ох:

[pic 80]

[pic 81]

Відповідь: .[pic 82]

5. Знайти об’єм тіла, що отримано обертанням наданих ліній навколо вісі ОХ. Зробити малюнок.

[pic 83]

Розв’язання

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

[pic 87]

Відповідь: 64.

ІІІ. Функції багатьох змінних

1. Знайти і зобразити на малюнку область визначення функції z=f(x,y).

.[pic 88]

Розв’язання

[pic 89]

Будуємо частини площини, що визначають дані нерівності.

[pic 90]

[pic 91]

Дана нерівність визначає всі точки, що лежать зовні круга , границя кола включена.  – коло з центром у точці О(0, 0) і радіусом R=3.[pic 92][pic 93]

[pic 94]

[pic 95]

Дана нерівність визначає всі точки полуплощини, що лежать вище прямої  , включаючи всі точки прямої.[pic 96]

[pic 97]

Відповідь: областю визначення даної функції є всі точки полуплощини, заштрихованої на малюнку, включаючи точки границі.

2. Довести, що дана функція z=f(x,y) задовольняє наведеному рівнянню.

[pic 98]

Розв’язання

[pic 99]

[pic 100]

[pic 101]

[pic 102]

[pic 103]

Відповідь: дана функція задовольняє наведеному рівнянню.

3. Знайти екстремум функції двох змінних z=f(x,y).

.[pic 104]

Розв’язання

Знайдемо стаціонарні точки.

[pic 105]

[pic 106]

[pic 107]

[pic 108]

[pic 109]

[pic 110]

Одна стаціонарна точка М(2; 1).

Знайдемо частинні похідні другого порядку:

[pic 111]

Обчислимо значення цих частинних похідних другого порядку в критичній точці М(2; 1).

[pic 112]

[pic 113]

Так як , то в точці М(2; 1) функція має мінімум.[pic 114]