Сызыктуу теңдемелер системасы

4.  Сызыктуу теңдемелер системасы (СТС)

                                       План:

1. СТСти чыгарууда Крамердин эрежеси менен чыгаруу.

2. Сызыктуу тендемелер системасын Гаусстун эрежеси менен  чыгаруу.

1. СТСти чыгарууда Крамердин эрежеси менен чыгаруу.

        Теорема: (Крамер) Айталы  системанын аныктагычы, ал эми  болсо  матрицасында мамычаны бош мүчөлөргө алмаштыруудан алынган матрицанын аныктагычы болсун. Анда, эгерде  болсо (1) системасы жалгыз гана чечимге ээ болот жана ал чечим [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

[pic 6]

формулалары менен табылат. (3) формулалары Крамердин формулалары деп аталат.

        1-мисал: Сызыктуу теңдемелер системасын (СТС) тескери матрица методу менен чыгаргыла:

[pic 7]

Чыгаруу: мындаболгондуктан, андаберилгенСТСын түрүндө жазып,  матрицасын табабыз.[pic 8][pic 9][pic 10]

[pic 11]

Матрицанын аныктагычы нөлдөн айырмалуу.

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

        2-мисал: Крамердин эрежеси менен системаны чыгаргыла.

[pic 18]

Чыгаруу: Аныктагыч болгондуктан Крамердин эрежесин колдонууга болот.[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

Жообу: [pic 22]

Мисал:             теңдемелер системасын чыгаргыла.[pic 23]

Чыгаруу: Негизги матрицанын аныктагычы:

[pic 24]

Демек, система жалгыз чыгарылышка ээ болот. Аны Крамердин эрежеси боюнча табалы:

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Анда .[pic 28]

Текшерүү: [pic 29]

2. Сызыктуу тендемелер системасын Гаусстун эрежеси менен  чыгаруу.

n өзгөрүлмөлүүm сызыктуу теңдемелердмин (11.) системасын карайбыз.

        Гаусстун ыкмасы өзгөрүлмөлөрдү удаалаш жоюу ыкмасы деп да аталат. Мында берилген система элементардык өзгөртөп түзүүлөрдүн жардамында баскычтуу же үч бурчтуу көрүнүштөгү тең күчтүү системага келтирилет да, андан кийин системанын акыркы сапчасынан баштап жогору карай бардык өзгөрүлмөлөрү удаалаш табылат.

        Айталы (1.1) системасынын биринчи теңдемесиндеги өзгөрүлмөсүнүн коэффициенти  болсун(тескери учурда теңдемелердин ордун алмаштыруу менен жетишүүгө болот. [pic 30][pic 31]

        1-кадам. Биринчи теңдемени удаалаш   сандарына көбөйтүп жана алынган теңдемелерди тиешелүү түрдө (1.1) системанын экинчи, үчүнчү ж.б., т – чи теңдемелерине кошуп, экинчи теңдемеден баштап бардык теңдемелерден өзгөрүлмөсүн жоебуз. Жыйынтыгында [pic 32][pic 33]

                (2.6)[pic 34]

системасына ээ болобуз.

        Мында жогорку (1) индекси 1-кадамдан кийин алынган жаңы коэффициенттерди билдирет.

        2-кадам.  деп алабыз. Эгерде бул шарт орун албаса, анда теңдемелердин же мамычалардын (өзгөрүлмөлөрдүн номерлерин өзгөртүү менен) ордун алмаштыруу менен  шартын алууга болот.[pic 35][pic 36]

        Экинчи теңдемени удаалаш  сандарына көбөйтүп жана алынган теңдемелерди тиешелүү түрдө экинчи, үчүнчү ж.б., т – чи теңдемелерге кошобуз. Алынган системнын үчүнчү теңдемесинен баштап бардык теңдемелерден өзгөрлүмөсүн жоебуз.[pic 37][pic 38]

Ушундай эле жол менен өзгөрүлмөлөрүн удаалаш жоюу процессин улантып  - кадамдан кийин төмөндөгү системаны алабыз: [pic 39][pic 40]

[pic 41]

Акыркы теңдемелердеги 0 саны бул теңдемелердин сол жагы  көрүнүшүндө экендигин билдирет. Эгерде  сандарынын жок дегенде бири нөлдөн айырмалуу болсо, анда тиешелүү барабардык орун албайт жана (1.1) системасы биргелешпеген болот.[pic 42][pic 43][pic 44]

        Демек, каалгандай биргелешкен система үчүн (2.7) системасындагы  сандары нөлгө барабар болушат. Бул учурда (2.7) системасынын акыркы   теңдеси теңдештик болуп эсептелет жана аларды (1.1) системасын чыгарууда карабай коюуга болот. Бул ашыкча теңдемелерди таштап жибергенден кийин төмөнкү 2 учур болушу мүмкүн: [pic 45][pic 46]