Теңсіздік ұғымы

КІРІСПЕ

Теңсіздіктердің шығу тарихына тоқтала кететін болсақ «үлкен» және «кіші» ұғымдарын теңдік ұғымымен қатар заттардың есебін және әртүрлі өлшемдерін салыстыру үшін қолдану қажеттілігі туындады. Теңсіздік ұғымы көне грек дәуірінен бастап қолданыла бастады.

Екі оң санның орташа геометриялық ортасы олардың арифметикалық ортасынан үлкен емес және геометриялық ортасынан кіші емес, яғни мына теңсіздікті [pic 1] Евклид әйгілі «Бастау» трактатында дәлелдеп көрсеткен болатын.

Егер [pic 2] ([pic 3]- оң сандар), онда [pic 4] екендігін Папа Александрийский «математикалық семинарда» көрсетті.

Бірақ бұл тұжырымдардың бәрі тек сөз жүзінде геометриялық терминдерге сүйене отырып айтылды. Қазіргі заманда қолданылып отырған теңсіздік таңбасы тек [pic 5]ғасырларда пайда болды. [pic 6] және [pic 7] таңбаларды ағылшын математигі Т. Гарриот [pic 8], француз математигі П. Бугер [pic 9]енгізді [1].

Теңсіздік және теңсіздіктер жүйесі теориялық зерттеулерде кеңінен қолданып қана қоймайды, сонымен қатар практикалық есептерді шешуде қолданылады. Бірінші Алгебраист [pic 10]ғасырда Оксфорд университетінің тәрбиеленуші Томас Гарриот [pic 11] Солтүстік Американың қазіргі Солтүстік Каролинаның картасын зерттеген, бағалы сипаттамаларды құраушы; Галилеямен бір уақытта телескоп арқылы ол айды бақылап, картасын зерттеген; «Алгебралық теңдеулерді шешуде аналитикалық есептеуді қолдану» еңбегі автор қайтыс болған соң [pic 12] жылдан кейін Лондонда [pic 13] жылы жарық көрді. Осы еңбегінде Виеттің алгебралық еңбектеріне сүйене отырып, Гарриот өз алдына «аналитикалық жолын» жеңіл әрі түсінуге оңайырақ болу керек екендігі жөнінде мақсат қойды.

Бұған таңбаларды жақсарту арқылы жетті. Белгілі және белгілі емес өлшемдердің орнына бас әріптерді емес кішкентай қарапайым қатарлық әріптерді қолданды, ал олардың оң дәрежелерін М. Штифель [pic 14]  қолданғандай жазды. Виет әріптің қасына толық немесе қысқартылған дәрежені немесе өлшемділікті жазған. Р. Рекорд теңдік таңбаларын енгізген, оның таңбалары қазіргі таңбаларға ұқсас.

Мысалы, [pic 15] теңдеуі біздің [pic 16] сәйкес келеді. Мұндағы нүкте Г.В. Лейбниц [pic 17][pic 18]ғасыр соңында ұсынғандай көбейту емес сандық коэффициетті анық көрсетеді.

Осындай түрдегі жазулар, яғни бос мүше теңдеудің қандай да бір бөлігінде жалғыз тұрса, Гарриот оны каноникалық теңдеу деп атаған. Қазір қолданылып жүрген үлкен "[pic 19]" және "[pic 20]" таңбаларын Гарриот ұсынған еді, ол бұл таңбаларды кубтық теңдеулердің оң шешімі болатыны жөніндегі сұрақта қолданды [2].

Теңсіздік ұғымы теңдік ұғымы сияқты екі объектіні салыстыру үшін қолданылады. Теңдік ұғымы «бірдей дегенді сипаттаса, онда теңсіздік ұғымы керісінше екі объектінің «әртүрлі» екенін сипаттайды. Мысалы, объектілер бірдей болса, олар туралы тең екенін айтуға болады. Ал егер екі объект әртүрлі болса, онда олар тең емес.

Салыстырылып отырған объектілердің теңсіздігін мынандай сөздерді: биік, төмен (биіктік теңсіздігі), қалың, жұқа (қалыңдық бойынша теңсіздік), алыс, жақын (бір нәрседен алыстықты көрсететін теңсіздік), ұзын, қысқа  (ұзындық бойынша теңсіздік), ауыр, жеңіл (салмақ бойынша теңсіздік), ашық, қоңырқай (түс бойынша теңсіздік) қолдана отырып көрсетуге болады [3].

Математикада да теңсіздік мағынасы сақталынады. Бірақ оның контекстінде математикалық объектілердің: сандар, өрнектер, қандай да бір өлшемдер (ұзындық, салмақ, аудан, температура, т.с.с) теңсіздігі туралы айтылады.

Кейде екі объектінің теңсіздігі факт болып келеді. Ал қандай да бір өлшемдерді салыстырғанда, теңсіздікті анықтағанда, әрі қарай қайсысы үлкен, қайсысы кіші екенін анықтау жүзеге асады [4].

"Үлкен" және "Кіші" ұғымдарымен біз өміріміздің бірінші күндерінен бастап таныспыз. Интуитивті түрде біз үлкен, кіші ұғымдарын өлшем, көлем ретінде қабылдаймыз. Әрі қарай біз мәселенің бәрі сан жөнінде екенін білеміз. Яғни, қай сан үлкен, қай сан кіші екенін анықтаймыз.

Мысал келтіретін болсақ, [pic 21] және [pic 22] екі кесіндінінің ұзындығын салыстырамыз. Көріп тұрғанымыздай, екеуі бірдей емес, яғни [pic 23] кесіндісі [pic 24] кесіндісінен ұзынырақ. "Ұзынырақ" сөзінің мағынасы [pic 25] кесіндісі [pic 26]кесіндісінен үлкен, сол кезде [pic 27] кесіндісі [pic 28] кесіндісінен кіші дегенді білдіреді.