Примеры решения задач линейного программирования

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Задача планирования производства

Классической задачей математического программирования является задача об использовании ресурсов (планировании производства). Рассмотрим пример такой задачи.

Пример 4.1. Организация освоила выпуск двух видов продукции П1 и П2. В ходе производства продукции используются четыре вида ресурсов Р1, Р2, Р3 и Р4 (например, финансовые, трудовые, сырьевые и транспортные). Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых для изготовления единицы продукции (технологические коэффициенты), приведены в таблице 4.1. Нулевые значения коэффициентов означают, что соответствующий ресурс не используется для изготовления соответствующей продукции.

Таблица 4.1

Доход от реализации единицы каждого вида продукции составляет 2 и 3 усл.ден.ед. соответственно. Необходимо составить такой план выпуска продукции (т.е. определить количество выпускаемой продукции каждого вида), при котором суммарный доход будет максимальным.

При решении задач такого вида необходимо ввести обозначения неизвестных величин. Обозначим отыскиваемые объемы выпускаемой продукции через [pic 1] и [pic 2].

Для изготовления всей продукции потребуется ресурс Р1 в объеме [pic 3](см. строку таблицы Р1), ресурс Р2 в объеме [pic 4], ресурс Р3 в объеме [pic 5] и ресурс Р4 в объеме [pic 6]. Так как запасы ресурсов ограничены, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств, которая представляет собой косвенные ограничения на переменные:

[pic 7]. По смыслу задачи переменные [pic 8] и [pic 9] должны быть неотрицательными числами, т.е. [pic 10] и [pic 11]. Это т.н. прямые ограничения на переменные. Суммарный доход от реализации всей продукции составит [pic 12]. Суммарный доход F, формально называемый целевой функцией, при оптимальных значениях переменных [pic 13] и [pic 14], удовлетворяющих прямым и косвенным ограничениям, должен принять максимальное значение.

Решение данной задачи осуществляется различными методами, например, графическим методом, симплексным, численным и т.д.

Рассмотрим технологию решения задачи с использованием надстройки MS Excel «Поиск решения», в которой реализован численный метод решения задач математического программирования.

Исходные данные задачи (таблица 4.1) с текстовыми комментариями заносятся в рабочую таблицу приложения MS Excel. Фрагмент этой таблицы приведен на рис. 4.1.

Левая часть неравенств косвенных ограничений и величина целевой функции могут быть рассчитаны, например, с помощью функции СУММПРОИЗВ(). Ячейка D2 рабочей таблицы, в которой записана формула расчета целевой функции называется целевой ячейкой. Значения переменных xj определяются в ходе решения задачи, поэтому их начальные значения можно задавать любыми, например, равными нулю. Ячейки В7:С7, содержащие переменные задачи, называются изменяемыми ячейками. Ячейки рабочей таблицы, содержащие текстовые и символьные записи, являются пояснительными, необязательными для выполнения расчетов.