Сызықтық бағдарламалаудың жалпы есебі және математикалық бағдарламалау есептерініңмодельдерін құру

1 СЫЗЫҚТЫҚ БАҒДАРЛАМАЛАУ

1. Сызықтық бағдарламалаудың жалпы есебі және математикалық бағдарламалау есептерініңмодельдерін құру

Сызықтық бағдарламалау – сызықтық шектеулері,яғни айнымалыдарды байланыстыратын сызықтық теңдіктері немесе теңсіздіктері баркөп айнымалы сызықтық функцияның экстремумын (максимум немесе минимум) табу есептер шешімінің теориясын және сандық әдістерін құратын математиканың саласы. Сызықтық бағдарламалаудың есептеріне ең жақсы (оңтайлы) шешімін іздеу есебі қойылатын экономикалық үдерістерін жоспарлаудың кең бір топ мәселесі жатады.

Сызықтық бағдарламалаудың жалпы есебі (СБЕ) сызықтық функцияның экстремальдік мәндерін (масимумды немесе минимумды) табудан тұрады

[pic 1]                                        (1.1)

n айнымалыдардан (x1,x2,…xn)  келесі  шектеулерден:

[pic 2]                           (1.2)

Экстремальдік мәні табылатын f(x) сызықтық функциясы мақсатты функция деп аталады. СБЕ жазылудың матрицалық нысаны сызықтық функциясының максималды (минималды) мәндерін іздеуді белгілейді.

f(x)=С*Х

А*Х≤(=,≥)B, Х≥0 шектеулері кезінде, мұндағы С=(c1 ,c2 ,…,cn) – жол матрицасы; [pic 3], [pic 4] бағандар матрицалары; [pic 5]- шектеулер жүйесінің коэффициенттер матрицасы.

Компоненттері есептің функционалды және тура шектеулерін қанағаттандыратын вектордыX = (x1,x2,…xn ) СБЕ жоспары (немесе мүмкін болатын шешім) деп атаймыз.

Барлық мүмкін болатын шешімдерсызықтық бағдарламалау есептерін анықтау саласын немесе мүмкін болатын шешімдероблысын (РШО) белгілейді.  f(x) мақсатты функцияның максимумын немесе минимумын жеткізетін рұқсат етілетін шешім есептің тиімді жоспары деп аталады және f(х) арқылы белгіленеді, мұнда X = (х1*, х2*,..., хт*).

СБЕ шешудің әр түрлі әдістері бар: графикалық, симплекстік және басқалар болады.

Есептің математикалық моделін құру алдында, яғни оны математикалық символдар арқылы жазу үшін, есеп шартында келтірілген экономикалық жағдайды айқындап алу керек. Ол үшін келесі сұрақтарға жауап беру қажет:

a) есептің негізгі шамалар не?

b) шешімнің мақсаты қандай? есептің қандай параметрі (пайда, өзіндік құн, уақыт және т.б.) шешімнің оңтайлы критерии болып табылады? ең жақсы нәтижелерге жету үшін бұл параметрдің шамасы қандай бағытқа (максимумға немесе минимумге) өзгеруі керек?

c) қандай шарттар есептің ізделеніп отырған шамалар мен ресурстарға қатысты орындалу керек? Бұл шарттар тапсырманың әр түрлі параметрлері бір бірімен өзара қатынасуын орнатады (мысалы, өндіру кезінде жұмсалатын ресурстар саны және оның қоймадағы қоры; шығарылатын өнімнің саны және ол сақталатын қойма сыйымдылығы; шығарылатын өнімнің саны және бұл өнімнің нарықтық сұранысы).

Бұл сұрақтарға жауап бергенен кейін математикалық модельдіжазуғакірісуге болады.

Анықтауға талап етілетін айнымалыдарды енгіземіз. Айнымалыдар- бұл бастапқы шамалар. Әдеттегідей, индекстері бар кіші латын әріптерімен белгіленеді. Мысалы, біртипті айнымалдарды X=(х1, х2,...,хn) түрінде жазуға қолайлы.

Оңтайлы критерийді тұжырымдаймыз. Оңтайлы критерийдің оның мәніне әсер ететін параметрлерден тәуелдікті көрсететін мақсатты функциясын құрастырамыз. Мақсатты функцияның түрі оңтайлы есебімен анықталады.

Мақсатты функция, мысалы f(х) арқылы белгіленетін, параметр мәнін есептейтін тәсілді– есептіңоңтайлы критерийін көрсетеді. Айнымалыдарға қойылатын шектеулерді тұжырымдаймыз, яғни айнымалыдарға және есеп ресурстарына салынатын шарттардың теңдіктер немесе теңсіздіктер жүйелері түрінде жазамыз. Шектеулердің сол жақ және оң жақ бөліктері, арнайы шарттар қойылған есептің параметрлер мәндерін алу тәсілін (есептеу немесе есеп шартынан алынған сандық мәндер) көрсетеді.

Математикалық моделін жазу кезінде есептің, мақсатты функцияның айнымалыларының өлшем бірліктерін және барлық шектеулерін көрсету қажет.