Пуассон және Винер процестері

Пуассон және Винер процестері.

Егер кез келген мәндерінде кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда уақыты үзіліссіз кездейсоқ процесін өсімшелері тәуелсіз процесс деп атайды.

Егер процесі мына шарттарды қанағаттандырса

1. - өсімшелері тәуелсіз процесс,

2. Кез келген мәндерінде - өсімшелері бірдей үлестірілген (уақыт бойынша біртекті),

3. - қарапайым оқиғалар кеңістігінен,

4. егер , , онда бұл процесті Пуассон процесі деп атайды. Мұнда - параметр.

Теорема. Егер - Пуассон процесі болса, онда .

Егер кездейсоқ процесі мына шарттарды қанағаттандырса,

1. - өсімшелері тәуелсіз процесс,

2. Кез келген мәндерінде - өсімшелері бірдей үлестірілген,

3. - қарапайым оқиғалар кеңістігінен,

4. егер , , онда бұл процесс Винер процесі деп аталады.

Теорема. Егер - Винер процесі болса, онда .

Мысал: ( радиоактивтік ыдырау)

Радийдің (Ra) біраз мезгілден соң радонға (hn)айналатыны физикадан белгілі.Ra атомының ядросы ыдырау барысында -бөлшектерді(Не гелий атомының ядросы) бөліп шығарады. Rа атомының ыдырауы басқа атомдарға тәуелсіз жағдайда болғандықтан -ыдырау өзара тәуелсіз болшектердің ағыны болып есептеледі. Демек -ыдырау уақыт бойынша Пуассон үлестірімімен беріледі; уақыт аралығында -бөлшектердің саны , k=0,1,... мұнда -уақыт аралығының ұзындығы, -берілген уақыт бірлігінде бөлініп шығатын -бөлшектерінің саны, . Сонымен t уақыт аралығында ыдыраған Ra атомдары санының , осы уақыт аралығында ыдыраған -бөлшектерінің санына тең болу ықтималдығы Пуассон занымен берілген; , к=0,1,... мұнда , атомдарының саны.

§ 13. Колмогоровтың дифференциалдық теңдеулері

Қарастырып отырған жүйенің мүмкін болатын күйлерін арқылы белгілейік. деген жазуды "жүйе t уақытында күйінде болды" деп түсінеміз.