Критерии Вальда, Байеса-Лапласа, Сэвиджа и Гурвица

1. Принятие решений в условиях неопределенности

1. Расчетно-графическая работа № 4. Критерии Вальда, Байеса-Лапласа, Сэвиджа и Гурвица

1. Цель работы

Целью лабораторной работы № 4 является изучение критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Байеса-Лапласа, а также условий их применения.

1. Постановка задачи

Модель проблемной ситуации имеет вид:

< U, V, W >,

где U={ui} – множество стратегий (решений), [pic 1];

V={vj} – множество состояний природы, [pic 2];

W=|wij| – матрица решений, элемент матрицы wij содержит доходы или потери от выбора стратегии ui при реализации состояния природы vj.

Требуется найти оптимальную стратегию.

1. Критерий Вальда

В соответствии с критерием Вальда (критерий крайнего пессимизма) в качестве оптимальной выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший, чем «нижняя цена игры с природой»:

[pic 3].

Правило выбора решения в соответствии с критерием Вальда можно интерпретировать следующим образом: матрица решений W дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов wir каждой строки. Выбрать надлежит тот вариант, в строке которого стоит наибольшее значение wir этого столбца.

Выбранное таким образом решение полностью исключает риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия vj не встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже P. Это свойство заставляет считать критерий Вальда одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется как сознательно, так и неосознанно. Однако в практических ситуациях излишний пессимизм этого критерия может оказаться очень невыгодным.

Применение этого критерия может быть оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

• о вероятности появления состояния природы vj ничего не известно;
• с появлением состояния vj необходимо считаться;
• реализуется лишь малое количество решений;
• не допускается никакой риск.

1. Критерий Байеса-Лапласа

Критерий Байеса-Лапласа в отличие от критерия Вальда, учитывает каждое из возможных следствий всех вариантов решений:

[pic 4].

Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом: матрица решений W дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбирается тот вариант, в строках которого стоит наибольшее значение wir этого столбца.

Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

1. вероятность появления состояния vj известна и не зависит от времени;
2. принятое решение теоретически допускает бесконечно большое количество реализаций;
3. допускается некоторый риск при малых числах реализаций.

1. Критерий Сэвиджа

В соответствии с критерием Сэвиджа в качестве оптимальной выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагополучной ситуации:

[pic 5].

Здесь величину P можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии vj вместо варианта ui выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния, вариант.

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора следующее: каждый элемент матрицы решений W вычитается из наибольшего результата [pic 6] соответствующего столбца. Разности образуют матрицу остатков (рисков). Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей wir. Выбирается тот вариант, в строке которого стоит наименьшее значение.