Гармониялық тербелістің кинематикасы, динамикасы және энергиясы

Дәріс № 4

Гармониялық тербелістің кинематикасы,

динамикасы және энергиясы.

Техникада және бізді қоршған ортада бірдей уақыт аралығында  периодты қайталанатын процесстер кездеседі. Мұндай процесстерді тербелмелі деп атайды. Әртүрлі физикалық табиғаттағы тербелмелі процесстер жалпы заңдылықтарға бағынады. Мысалы, электр тізбегіндегі токтың тербелісі мен математикалық маятниктің тербелістері бірдей теңдеумен сипатталады.

Механикада ілгерлемелі және айналмалы процесстермен қатар, тербелмелі қозғалыстар көптеген қызығушылық туғызады.

Механикалық тербелістер деп бірдей уақыт аралығында қайталанып отыратын процесстерді айтады. Тербелмелі дененің қозғалысы мынадай периодты функцияның көмегімен беріледі: x = f(t)

Қарапайым тербелмелі жүйелердің мысалы ретінде, пружинаға ілінген жүкті немесе математикалық маятникті алуға болады.

[pic 1]

Механикалық тербелмелі жүйелер.

Тербелістерді еркін және еріксіз деп бөледі:

Еркін тербелістер, жүйені қалыпты жағдайдан ауытқытқаннан кейін, жүйенің ішкі күштері әсерінен пайда болады.

Маятниктің және пружинаға ілінген жүктің тербелістері еркін тербеліс болып есептеледі.

Периодты өзгеріп отыратын сыртқы күштердің әсерінен болатын тербелістерді еріксіз тербелістер деп атайды.

Тербелмелі процесстердің ең қарапайым түрі–гармониялық тербелістер, олар мынадай теңдеумен сипатталады:

x = xm cos (ωt + φ0).

мұндағы x – дененің қалыпты жағдайдан ауытқуы, xm – тербеліс амплитудасы, яғни қалыпты жағдайдан ең максимал ауытқуы, ω – циклдік немесе айналмалы тербеліс жиілігі, t – уақыт.

Косинустың аргументі болып тұрған шама φ = ωt + φ0 гармониялық процесстің фазасы деп аталады. t = 0 болғанда φ = φ0, сондықтан, φ0 бастапқы фаза деп атайды. Дене қозғалысының қайталанатын ең аз уақыт аралығын тербеліс периоды Т деп атайды. Тербеліс периодына кері физикалық шаманы тербеліс жиілігі деп атайды:

[pic 2]

Тербеліс жиілігі 1 с уақытта қанша тербеліс жасалатынын көрсетеді. Өлшем бірлігі– герц (Гц). Тербеліс жиілігі f циклдық жиілікпен ω және периодпен Т мына теңдеулер арқылы байланысты:

[pic 3]

Суретте денелердің гармониялық тербеліс кезіндегі, бірдей уақыт аралығындағы орны көрсетілген. Мұндағы стрелкалар дененің әртүрлі уақыт аралығындағы жылдамдық векторларын көрсетеді.

[pic 4]

Гармониялық тербеліс. Бастапқы фаза φ0 = 0.

Дененің кезекті орын ауыстыруларының уақыт интервалы τ = T / 12.

6.3 суретте гармониялық процессте не тербеліс амплитудасы xm,  не периоды Т (немесе жиілігі f), не бастапқы фазасы φ0 өзгерген кездегі өзгерістер сипатталған.

[pic 5]

Үш жағдайда да көк қисықтар үшін φ0 = 0: а – қызыл қисықтың көктен айырмасы тек үлкен амплитудасы үшін ғана  (x'm > xm); b – қызыл қисықтың көктен айырмасы тек периодтың мәні ғана (T' = T / 2); с – қызыл қисық көктен тек бастапқы фазаның мәнімен ғана айырылады. ([pic 6]рад).

Дененің түзу сызықты (OX ось) тербелмелі қозғалысы кезінде жылдамдық векторы үнемі осы түзудің бойымен бағытталған.
Дененің υ = υx қозғалысы кезіндегі жылдамдығы мына теңдеумен анықталады:

[pic 7]

Математикада [pic 8] Δt → 0 кезіндегі қатынастың шегін табу, x(t) функциясынан t уақыт бойынша туынды алу болып табылады, және [pic 9] немесе x'(t), немесе [pic 10] белгіленеді. Ал гармониялық тербеліс үшін x = xm cos (ωt + φ0), туынды алу мына шешімге әкеледі: