Задачи по "Сопротивлению материалов"

ВАРИАНТ 3

Задача №1. Из расчетов на прочность при заданном значении нагрузок F определить размеры поперечного сечения стержня d.

a = 0,5 м; b = 1,0 м; с = 1,5 м; F = 100 кН; k = 0,7; k1 = 1,2; k2 = 0,2; материал балки – сталь 45, n = 2.

Решение:

Разбиваем опору на участки. Рассекаем опору на две части в произвольном сечении участков. Отбрасываем одну из частей (левую). Заменяем действие отброшенной части внутренним усилием N. Внутреннее усилие всегда принимаем положительным, растягивающим; его вектор направлен от сечения. Уравнение равновесия составляем, проецируя все силы на продольную ось x опоры:

[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

Строим эпюру внутренних усилий.

Из условия прочности при растяжении [pic 5], выполняем подбор размеров поперечных сечений (допускаемое напряжение для стали 45
[σ] = σт/n = 360/2 = 180 МПа).

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Сравниваем напряжения с допускаемым, определим для каждого участка конструкции необходимый размер поперечного сечения круглой формы:

- для I сечения:  [pic 9]

- для II сечения:  [pic 10]

- для III сечения:  [pic 11]

Выбираем большее ограничение и принимаем  Вычисляем напряжения:[pic 12][pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

Для стали 45 Е=2,0*105 МПа

Удлинения каждого из участков:

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Вычисляем перемещения сечений. За начало отсчета принимаем сечение 4. Оно защемлено, его перемещение равно нулю δ4 = 0.

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Строим эпюру перемещений.

[pic 23]

Задача №2. Из расчетов на прочность при заданных размерах поперечного сечения стержня d и величине допускаемого касательного напряжения τadm вычислить значение допускаемого крутящего момента [М].

a=0,5 м; b = 1,0 м; с = 1,5 м; k=0,7; k1=1,2; k2=0,2; d=85 мм; [τ]=25 МПа.

Решение:

Вычисляем реактивный момент жесткого защемления вала из условия статического равновесия:

[pic 24]

[pic 25]

Используя метод сечений, определяем законы изменения крутящего момента в сечении на участках вала.

Принимаем конечный момент в каждом сечении направленным против часовой стрелки (положительным).

Первый участок:

[pic 26]

Второй участок ( 0 ≤ z ≤ 1 ):

[pic 27]

[pic 28]

при z=0: [pic 29]

при z=1: [pic 30]

Третий участок:

[pic 31]

[pic 32]

По полученным данным строим эпюру крутящих моментов в долях М.

Обозначаем полярный момент сопротивления  сечения вала диаметром d и выражаем через него аналогичный величины для участков вала:[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

Вычисляем наибольшие касательные напряжения на участках вала:

Первый участок: [pic 37]

Второй участок:

при z=0: [pic 38]

при z=1: [pic 39]

Третий участок:

[pic 40]

По полученным данным строим эпюру наибольших касательных напряжений в долях .[pic 41]

Анализируя эпюру , определяем опасное по прочности сечение вала (3). Из условия прочности при кручении вала:[pic 42]