Стационарные задачи теплопроводности для прямоугольной области

Санкт-Петербургский Политехнический университет Петра Великого

Институт энергетики и транспортных систем

Кафедра атомной и тепловой энергетики

Лабораторная работа № 1
Стационарные задачи теплопроводности для прямоугольной области

        1. Постановка задачи

        Требуется получить аналитическое решение стационарной задачи теплопроводности для прямоугольной области в виде бесконечного ряда. Задавшись определенной точностью, вычислить значения температуры для указанных координат.

Получить распределения температуры с помощью системы конечно-элементного анализа ANSYS. Сравнить результаты вычислительного эксперимента с аналитическими расчетами.

Материал - сталь, коэффициент теплопроводности к=43 , плотность ρ=7800, удельная теплоемкость сv=473.[pic 1][pic 2][pic 3]

2. Задача 1

Прямоугольная область: a=6м, b=1м, внутри которой происходит объемное тепловыделение с постоянной плотностью qv=9000. Все грани находятся при нулевой температуре. Рассмотреть температуру на линиях x=a/2, x=a/4 при изменении у в интервале (0;b) с шагом b\10.[pic 4]

3.Построение конечно-элементной модели

Для решения задачи 1 нужно построить конечно-элементную модель. Сначала задаем тип нашего элемента solid 8node 77. Затем задаем температурные свойства нашего материала в Material Models. Далее создаем нашу модель (создаем точки, соединяем их линиями и внутри задаем поверхность). В Meshing разбиваем нашу пластину на конечные элементы. На рисунке 1 представлена наша конечно-элементная модель.

[pic 5]

Рис.1. Конечно-элементная модель задачи 1

4. Граничные условия

Прикладываем к нашей модели граничные условия. Выбираем Temperature и задаем ее ноль на всех гранях. Затем при помощи Heat generate прикладываем qv ко всей поверхности. Получаем конечно-элементную модель с граничными условиями представленную на рисунке 2.

[pic 6]

Рис.2.Граничные условия

5. Решение задачи

После пунктов 3 и 4 мы можем решить нашу задачу. Выбиваем Solve Current LC. Если появляется окно, представленное на рисунке 3, то наша задача успешно решена.

[pic 7]

Рис.3. Решение задачи

Далее смотрим результаты в General postproc. На рисунке 4 представлено распределение температур в нашей пластине.

[pic 8]

Рис.4. Распределение температур в стационарной пластине

Затем по условию задачи нас просят найти температуру на линиях x=a/2, x=a/4 при изменении у в интервале (0;b) с шагом b\10. Эти линии будут х=3м и х=1.5м. Строим данные линии на нашей модели и соответствующие им графики распределения температур, которые представлены на  рисунках 5 и 6.

[pic 9]

Рис.5. Распределение температуры на линии х=3

[pic 10]

Рис.6. Распределение температуры на линии х=1.5

6.Аналитическое решение задачи

Аналитическое решение ищется по формуле, представленной на рисунке 7.

[pic 11]

Рис.7. Формула для аналитического решения задачи

Затем при помощи Excel найдем это решение и построим графики распределения температур. Данные операции представлены на рисунках 8,9,10 и 11 соответственно.

[pic 12]

Рис.8. Решение для х=3

[pic 13]

Рис.9. Решение для х=1.5

[pic 14]

Рис.10. График распределения температуры для х=3

[pic 15]

Рис.11. График распределения температуры для х=1.5

7.Анализ полученных решений

Если сравнивать графики распределения температур для стационарной пластины на линиях х=3 и х=1.5 полученные в ANSYS и аналитическим путем, то видим, что они и их максимальные температуры почти полностью совпадают с учетом погрешностей. Сравнение данных представлено в таблице 1.

Таблица1. Распределение температур в задаче 1