Исследование резонансных явлений в линейных электрических цепях

Работа № 3.  ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

      Цель работы – исследование условий возникновения и особенностей проявления резонанса в электрических цепях.

1. Основные положения теории

      Резонансом называется режим электрической цепи, при котором собственная частота колебаний участка цепи  или всей цепи в целом совпадает с частотой вынужденных колебаний. Различают два вида резонанса: резонанс напряжений и резонанс токов.

1. 1.1  Резонанс напряжений

      Резонанс напряжений возникает в цепи, когда ее эквивалентное сопротивление относительно зажимов источника приобретает чисто резистивный характер, при этом реактивные составляющие входного сопротивления взаимно компенсируется. В  наиболее  простом  случае  последовательного  соединения  элементов  r, L, C     [pic 1], резонанс возникает при условии, когда [pic 2][pic 3], или

[pic 4]         [pic 5]          [pic 6]

где ω0 -  резонансная частота контура; [pic 7]- волновое сопротивление контура.

При резонансе ZВХ. = r , следовательно, [pic 8]= 0. Ток при резонансе  [pic 9], а так как  XL = XC,  то UL0 =  UC0.

      Добротность контура Q может быть определена как

                    Q = [pic 10] = [pic 11] = [pic 12]                [pic 13]

а, следовательно,  Q можно определить опытным путем, измеряя UC0.

      При приближении частоты к резонансной напряжения на реактивных элементах резко возрастают. Поэтому  такое явление и получило название резонанса напряжений.

      Напряжения на индуктивности и емкости достигают максимума на частотах, несколько отличающихся от резонансной. Этот сдвиг зависит от добротности контура и при высокой добротности невелик. Если добротность Q>3, можно условно считать, что максимумы UC и UL совпадают с частотой резонанса.

      Входное  сопротивление контура может быть записано в виде

 [pic 14][pic 15]                     

что дает возможность построить амплитудно-   и фазочастотную  характеристики для ZВХ. (рис.3.1). Характер АЧХ и ФЧХ для тока в контуре  показан на рис.3.2.

       Полоса пропускания – область частот, в которой  [pic 16]. Из соотношения [pic 17]   следует, что на границах полосы пропускания  r = ±х, [pic 18]. При таких соотношениях r и x  [pic 19]. Это дает возможность определить частоты на границе полосы пропускания ( ω1,ω2 ) по  ФЧХ  рис.3.2,   П = ω2-ω1 - абсолютное значение полосы пропускания; S = [pic 20] - относительная полоса пропускания.

     Справедливо также соотношение  [pic 21]=[pic 22] , где d - затухание в контуре.

     Граничные частоты могут быть определены по формуле

[pic 23]

      Избирательностью системы называют ее способность пропускать электрические сигналы в определенной полосе спектра сигналов при  существенном  подавлении сигналов вне этой полосы. Резонансный контур может выполнять функции избирательной системы.

      Избирательность контура при заданной расстройке оценивается в децибелах (дБ) и может быть определена как  a = 20 lg[pic 24].

      Векторная диаграмма для нагруженного контура при резонансе (рис. 3.3): построение начинаем с параллельного участка - отложим горизонтально вектор тока IR  через сопротивление нагрузки, вектор напряжения UR совпадает по направлению со своим током и равен напряжению UC  на параллельно включенной емкости, ток через емкость IC опережает свое напряжение на угол π/2, сумма токов IC и IR равна входному току IВХ., напряжение на индуктивности опережает свой ток, т.е. IВХ.,  на угол π/2. Проводим прямую линию под прямым углом   к вектору   IВХ., параллельно этой линии проводим пунктир от конца вектора UR до пересечения с вектором IВХ. , от точки пересечения проводим пунктир параллельно UR до пересечения с прямой линией – получаем параллелограмм,  откладываем на диагонали параллелограмма вектор UВХ., который при резонансе совпадает по направлению с IВХ.,   и вектор UL на стороне параллелограмма, т.е. «подгоняем» величины  UВХ. и UL.[pic 25]