Разработка параллельной MPI-программы решения двумерного уравнения теплопроводности Лапласа методом одномерной декомпозиции расчетной о

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ»

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

по дисциплине “Параллельные вычислительные технологии” на тему

Разработка параллельной MPI-программы решения двумерного уравнения теплопроводности Лапласа методом одномерной декомпозиции расчетной области

Выполнил студент                             Ничипарук Данил Вадимович

[pic 1]

                 Ф.И.О.

Группы                                                          ИВ-821

[pic 2]

Работу принял                  профессор д.т.н. М.Г. Курносов

[pic 3]

                 подпись          

Защищена                  Оценка  

[pic 4]

Новосибирск – 2020

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ        3

1 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА        4

2 МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ИТЕРАЦИЙ ЯКОБИ        6

3 ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ВЕРСИЯ МЕТОДА ЯКОБИ        8

4 РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ        11

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        15

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ        16

ПРИЛОЖЕНИЕ        17

ВВЕДЕНИЕ

Целью данной курсовой работы является изучение метода итераций Якоби, реализация параллельной версии метода с использованием стандарта MPI для решения двумерного уравнения теплопроводности Лапласа c помощью сеточных вычислений, проведение экспериментального исследования масштабируемости на кластерной вычислительной системе Oak.

1. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА

          Уравнение Лапласа является примером так называемого эллиптического дифференциального уравнения в частных производных. В двумерном варианте она имеет следующий вид.

𝑑2𝑈 𝑑2𝑈 ∆𝑈= 𝑑𝑥2 +𝑑𝑦2 =0,  [pic 5]

где функция U (x, y) – неизвестный потенциал (теплота).

 По данной области пространства и известным значениям в точках на границах этой области нужно аппроксимировать стационарное решение во внутренних точках области. В нашем случае:

• Расчетная область – квадрат [0, 1] x [0, 1]
• Граничные условия:

• U (x, 0) = sin(πx)
• U (x, 1) = sin(πx)𝑒−𝜋 
• U (0, y) = U (1, y) = 0

 Это можно сделать, покрыв область равномерной сеткой точек. Каждая внутренняя точка инициализируется некоторым значением. В нашем случае:

• Расчетная область [0, 1] x [0, 1] покрывается прямоугольной сеткой с постоянным шагом: nx точек по оси OX и ny точек по оси OY
• Расчетная сетка – массив [ny, nx] чисел (температура)
• Переход от индекса ячейки [i, j] к координатам в области [0, 1] x [0, 1]:

x = j * 1.0 / (nx – 1.0)  y = i * 1.0 / (ny – 1.0)

Затем с помощью повторяемых итераций вычисляются стационарные значения внутренних точек. Вторые производные аппроксимируются на расчетной сетке разностным уравнением с применением четырехточечного шаблона

𝑑2𝑈 𝑑2𝑈

∆𝑈=𝑑𝑥2 +𝑑𝑦2 =0 [pic 6]

На каждой итерации новое значение в каждой точке сетки равно среднему из предыдущих значений четырех ее соседних точек (схема «крест») [1, 2].

grid_new[i ,j] = (grid[i - 1, j] + grid[i, j + 1] + grid[i + 1, j]

+ grid[i, j - 1]) / 4