Интерполяционная кривая Catmull-Rom

ГУАП

КАФЕДРА № 42

ОТЧЕТ
ЗАЩИЩЕН С ОЦЕНКОЙ

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ

Санкт-Петербург 2023

Цель работы

Изучение интерполяционной кривой Catmull-Rom, построение интерполяционной кривой Catmull-Rom с помощью математического пакета и/или языка программирования высокого уровня.

Задание

1. Построить график гармонических колебаний.

2. На периоде гармонических колебаний взять N точек, где N равно 4 плюс номер студента в группе.

3. По опорным точкам из пункта 2 построить кривую Catmull-Rom (на том же графике, что и в пункте 1).

4. Рассчитать ошибку восстановления гармонических колебаний кривой Catmull-Rom.

5. Уменьшить число точек на периоде в 2 раза и повторить пункты 1-4.

6. Увеличить число точек на периоде в 2 раза и повторить пункты 1-4.

7. Построить кривую Catmull-Rom на основе полинома N-го порядка (где N берется из пункта 2) и рассчитать ошибку.

Вариант задания показан на рисунке 1.

[pic 1]

Рисунок 1 - Индивидуальное задание

Теоретические положения

Интерполяция — построение кривой, точно проходящей через набор базовых точек. В простейшем случае интерполяция может быть реализована путем соединения базовых точек отрезками прямых линий, этот способ называется линейной интерполяцией. Такая кривая точно проходит через набор базовых точек и отлично подходит, например, для иллюстрации динамики курса валют. Однако, если этот набор базовых точек получен в результате некоторого эксперимента, то линейная интерполяция может не очень точно отражать поведение объекта эксперимента на интервалах между базовыми точками. Поэтому более приемлемой может быть интерполяция с помощью некоторой гладкой кривой. Критерием гладкости является существование производных функции, описывающей кривую. Какого порядка существует производная — такого порядка и гладкость. Обычно достаточно гладкой считается функция, если она имеет производную первого или второго порядка.

Гладкая интерполяционная кривая на основе набора базовых точек из n + 1 штук может быть построена с помощью полинома степени n.

Полиномом называется функция вида:

f(x) = an xn + an–1 xn–1 +…+ a1x + a0 = y.                                                (1)

В ней неизвестными являются коэффициенты полинома ai, i = (0, 1, ..., n). Для того чтобы их найти, подставляем в уравнение n + 1 раз координаты  из  набора  базовых  точек.  В  результате  получаем  систему  из n + 1 линейных относительно ai уравнений.

Кроме этого, чтобы избежать сложностей при построении (большее количество коэффициентов при большем количестве точек, неограниченное возрастание или убывание в пределах базовых точек), используют подход, заключающийся в формировании составной кривой из отдельных частей (сегментов).

Составную кривую второго порядка гладкости можно образовать из дуг обыкновенных полиномов третьей степени. Для расчета коэффициентов такого полинома требуется минимум четыре базовых точки. Таким образом, каждый сегмент составной кривой строится на основе четырех точек.