Аффинные преобразования на плоскости

ГУАП

КАФЕДРА № 42

ОТЧЕТ
ЗАЩИЩЕН С ОЦЕНКОЙ

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ

Санкт-Петербург 2023

1. Цель работы

Изучение теоретических основ фрактальной графики. Получение практических навыков визуализации фракталов.

1. Задание к лабораторной работе

На любом языке программирования высокого уровня реализовать программу построения фрактала в соответствии с заданием, представленном в таблице 1.  Использование для генерации фракталов готовых программных продуктов не разрешается.

Таблица 1 – Задание

1. Теоретические сведения, необходимые для выполнения задания

Фрактал, в математике, любая из класса сложных геометрических фигур, которые обычно имеют «дробную размерность» — понятие, впервые введенное математиком Феликсом Хаусдорфом в 1918 году. Фракталы отличаются от простых фигур классической или евклидовой геометрии — квадрата, круга, сферы и так далее. Они способны описывать многие объекты неправильной формы или пространственно неоднородные явления в природе, такие как береговые линии и горные хребты. Термин «фрактал», происходящий от латинского слова fractus («фрагментированный» или «сломанный»), был придуман математиком польского происхождения Бенуа Б. Мандельбротом.

Треугольник Серпинского – фрактал, предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского представлен на рисунке 1.

[pic 1]

Рисунок 1 – Треугольник Серпинского

 Существует несколько методов построения фрактала. Был рассмотрен конкретный метод, необходимый для выполнения лабораторной работы. Один из способов построения треугольника Серпинского похож на схему построения геометрических фракталов с помощью замены частей очередной итерации на масштабированный фрагмент. Здесь на каждом шаге составляющие ломаную отрезки заменяются на ломанную из трех звеньев. Откладывать эту ломанную нужно попеременно то вправо, то влево. Из данного способа вытекает понятие кривой наконечника стрелы Серпинского, что представлена на рисунке 2. Это фрактальная кривая, похожая по внешнему виду и идентичная по пределу треугольнику Серпинского.

[pic 2]

Рисунок 2 –Наконечник Серпинского

Наконечник Серпинского является геометрическим фракталом. Процесс построения этого фрактала можно описать с помощью L-систем.

Геометрические фракталы — это сложные структуры, обладающие самоподобием, то есть их части масштабируются и повторяют себя на разных уровнях детализации. Они отличаются от классических геометрических фигур своей сложностью и детализацией. Геометрические фракталы имеют множество применений в разных сферах, таких как компьютерная графика, криптография, физика и даже искусство. Они обладают привлекательной эстетикой и могут быть использованы для создания сложных и красивых изображений. Кроме того, они помогают нам понять принципы самоорганизации и самоподобия, которые лежат в основе многих явлений в природе и математике.