Фракталы. История открытия, примеры, применение

Частное учреждение общеобразовательная организация средняя школа "…"

(Школа "… ")

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА

Фракталы. История открытия, примеры, применение.

Математика

Выполнила

…

11 класс

202?

Оглавление

Введение        3

Фракталы в античности        4

Странные математические объекты        4

Фракталы в физике        5

Итерированные отображения        6

Множество Мандельброта        7

Применение фракталов.        8

Выводы        9

Введение

Еще, быть может, каждый атом –

Вселенная, где сто планет;

Там - все, что здесь, в объеме сжатом,

Но также то, чего здесь нет.

Их меры малы, но все та же

Их бесконечность, как и здесь;…

В. Брюсов. 1922

Самоподобные объекты, которые сейчас принято называть фракталы (1) (от лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) изучались  еще античной математикой. Свойство самоподобия означает, что такой объект схож  свойствами и формой со своими частями. А части схожи со своим частями и так далее.

Само слово фрактал было изобретено франко-американским математиком Бенуа Мандельбротом. С момента выхода его книги "Фрактальная геометрия природы " (2), красивые объекты с такими свойствами стали пристально  исследовать:

[pic 1]

Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.

Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.

Цель проектной работы: познакомиться с миром фракталов,

Задачи: 1) Понять, что такое фрактал. 2) Изучить историю их открытия. 3) Рассмотреть некоторые виды фракталов. 4) Понять их значимость.

Фракталы в античности

Спирали, похожие на  фракталы рисовали еще на стенах палеолитических пещер. Фрактальные самоподобные орнаменты находят на древнеегипетских барельефах, греческих фресках, персидских коврах, стенах древнеиндийских храмов и пирамидах ацтеков.

[pic 2]

"Золотая" логарифмическая  спираль(12)

В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты, например: кроны деревьев, цветная капуста, облака, формы гор, кровеносная система, кристаллы, снежинки, линии побережья и т.д.

В этой проектной работе я пишу  об истории математических фракталов. Уже в апориях Зенона (3) явно использовалось самоподобие (Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины … , и др.). Как я поняла, однозначного разрешения апории так до сих пор и не получили (4) .

Странные математические объекты

При построении современной теории чисел и обосновании математического анализа в XIX веке математики столкнулись со странными объектами, такими, как:

• Заполняющая отрезок, но не имеющая длины Канторова пыль (5):

[pic 3]

• Заполняющая квадрат одномерная кривая Пеано (6): [pic 4]
• Непрерывная, но не дифференцируемая функция Вейерштрасса (7): [pic 5]
• Пример ряда Фурье, построенного А. Н. Колмогоровым, расходящегося на всюду плотном фрактальном множестве

…

и многими другими, которые теперь объединяются названием фракталы.  Но для математики XIX-первой половины XX веков это были аномалии, в которых "… живут демоны " (8). Бенуа Мандельброту удалось показать, что подобное нормально, и встречается несравненно чаще, чем гладкие функции.

Фракталы в физике

В физике, теорию броуновского движения долго не удавалось построить, так как, как выяснилось потом, траектория броуновской частицы оказалась фракталом. Потребовались усилия математиков всего мира, включая Альберта Эйнштейна и Норберта Винера, чтобы  дать её удовлетворительное описание.