Формула Бернуллі для обчислення ймовірностей у схемі незалежних випробувань. Асимптотичні формули: Муавра-Лапласа, Пуассона

  Лабораторна робота № 22

Формула Бернуллі для обчислення ймовірностей у схемі незалежних випробувань. Асимптотичні формули: Муавра-Лапласа, Пуассона.

Афанасьєвська Поліна, РК-101

Теоретичні запитання до теми

1. Схемою Бернуллі називають послідовність незалежних випробувань, у кожному з яких можливі лише два результати (успіх чи невдача), ймовірність яких залишається постійною протягом усієї послідовності.

1. Формула Бернуллі виглядає так: P(X = k) = C_n^k * p^k * q^(n-k), де P(X = k) - ймовірність того, що у послідовності з n незалежних випробувань буде точно k успіхів; p - ймовірність успіху в одному випробуванні; q = 1-p - ймовірність невдачі в одному випробуванні; C_n^k - кількість способів вибрати k успіхів з n випробувань.

1. Найімовірніше число настання події в серії незалежних випробувань можна за допомогою формули Бернуллі:

n*p

де n - кількість випробувань, p - ймовірність настання події в одному випробуванні.

1. Формулу Пуассона використовують у випадку, коли кількість випробувань дуже велика, а ймовірність успіху дуже мала. Це дозволяє оцінити ймовірність події, не використовуючи складних формул для великої кількості випадкових величин.

1. Локальна формула Муавра-Лапласа дає добре наближення випадків, коли випробування незалежні, ймовірність успіху пропорційна кількості випробувань і ймовірність успіху в кожному випробуванні невелика.

1. Інтегральна формула Муавра-Лапласа використовується для обчислення ймовірностей того, що кількість настання певної події у великій серії незалежних випробувань знаходиться в певному діапазоні значень. Ця формула використовується в тих випадках, коли кількість випробувань n досить велика, a ймовірність настання події p не занадто близька до 0 або 1.

1. Пояснити на прикладі задачі використання функцій Excel.

1. Задача: Серед великої кількості виробів, що знаходяться в комплекті, 30% нестандартні. Знайти ймовірності того, що серед 5 виробів, навмання взятих із комплекту, буде: а) тільки один нестандартний; б) принаймні один нестандартний.

a) Тільки один нестандартний виріб:

Ймовірність, що один конкретний нестандартний виріб буде взятий, дорівнює 0,3. Ймовірність того, що з 5 виробів буде взятий конкретний нестандартний виріб і 4 стандартних, дорівнює 0,3 * 0,7^4. Оскільки може бути 5 різних виробів, які можуть бути нестандартними, ми маємо перемножити ймовірність на кількість можливих комбінацій, де один виріб нестандартний: