Теория погрешностей и машинная арифметика

Лабораторная работа № 1

ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ И МАШИННАЯ АРИФМЕТИКА

Цель работы

При численном решении математических и прикладных задач почти неизбежно появление на том или ином этапе их решения погрешностей следующих трех типов: 1) погрешность задачи; 2) погрешность метода; 3) погрешность округлений (погрешность действий). Все три описанных типа погрешностей в сумме дают полную погрешность результата решения задачи. В данной работе рассматриваются некоторые возможные подходы к учету погрешностей действий.

Задача 1.1

Дан ряд . Найти сумму ряда аналитически. Вычислить значения частичных сумм ряда и найти величину погрешности при значениях N =10, 102, 103, 104, 105.[pic 1][pic 2]

Аналитическое решение:

[pic 3]

[pic 4]

Ответ: [pic 5][pic 6]

Решение в Маткад:

Н а х о д и м  с у м м у  р я д а  п р и  N=10

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

Задача 1.2

Дана матрица A=  . В каждый из диагональных элементов матрицы A по очереди внести погрешность в 1%. Как изменился определитель матрицы А? Указать количество верных цифр и вычислить величину относительной погрешности определителя в каждом случае.[pic 25]

Решение в Маткад:

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

В н е с е м  п о г р е ш н о с т ь  в  1% п о с л е д о в а т е л ь н о  в  к а ж д ы й  д и а г о н а л ь н ы й  э л м е н т  м а т р и ц а :

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

true_digits (True, |A|) = 0

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

true_digits (True, |A|) = 1

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

true_digits (True, |A|) = 2

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

true_digits (True, |A|) = 0

Задача 1.3

Для заданной матрицы A найти обратную матрицу (если это возможно). Затем в элемент внести погрешность в 10% и снова найти обратную матрицу. Объяснить полученные результаты.

Решение в Маткаде: