Теоремы А.М. Ляпунова

РЕФЕРАТ

Тема: «ТЕОРЕМЫ А. М. ЛЯПУНОВА»

ТЕОРЕМЫ А. М. ЛЯПУНОВА

Теоремы об устойчивости.

В теории устойчивости исключительно большое значение имеет «прямой метод» А. М Ляпунова, основывающийся на использовании функций Ляпунова. Это — общий метод, применимый к большому классу нелинейных систем и, конечно, к линейным системам. Правда, в линейной теории при исследовании устойчивости прямой метод Ляпунова на практике не используется, так как для линейных систем разработаны значительно более удобные необходимые и достаточные критерии устойчивости. Но линейная система в подавляющем большинстве случаев получается в результате линеаризации характеристик исходной нелинейной системы, т. е. является ее приближенной моделью, и возникает вопрос — правомерно ли переносить выводы об устойчивости линейной системы на исходную нелинейную систему, когда и в какой мере это справедливо?

Прямой метод Ляпунова дает возможность обосновать правомерность такого суждения. С его помощью устанавливается следующее важное утверждение: если все корни характеристического уравнения линейной модели расположены не на мнимой оси, то устойчивость линейной модели влечет за собой устойчивость равновесия в точке линеаризации при малых отклонениях нелинейной модели. При наличии особенностей на мнимой оси требуется дополнительное исследование.

Поэтому изложение теории устойчивости целесообразно начать со знакомства с основными положениями второго метода Ляпунова.

Определение. Положительно-определенная в некоторой открытой области  функция  производная по времени которой  силу уравнений (5-1) в этой области

всегда отрицательна  называется функцией Ляпунова  также будет функцией Ляпунова, если 

Теорема 1. (Теорема Ляпунова об устойчивости.)

Если дифференциальные уравнения (5-1) возмущенного движения таковы, что в некоторой окрестности  начала координат существует функция Ляпунова  то равновесие в начале координат устойчиво.

Теорема 2. (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.)

Если выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, функция  определенно отрицательна, то равновесие в начале координат асимптотически устойчиво.                                                         Доказательство. Пусть внутри сферы  в пространстве X условия Коши — Липшица для функций  в уравнениях (5-1) удовлетворяются. Построим внутри сферы  сферу  где  — любое наперед заданное положительное число, меньшее.

В соответствии с теоремой Больцано ограниченное множество в -мерном евклидовом пространстве компактно, поэтому сфера  компактна. Так как непрерывный функционал, - заданный на компактном множестве, ограничен и достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней границ, то функция  имеет на сфере  минимум. Пусть этот минимум равен I. В силу определенной положительности функции  Для всех точек сферы  будет  Но функция  непрерывна и обращается в нуль только в начале координат, поэтому существует такое достаточно малое положительное  что  для всех х в сферической области 

Рассмотрим траекторию для  начинающуюся из произвольной точки  внутри сферы  Очевидно, Тогда, так как  отрицательна, то  вдоль траектории или убывает, или неизменна там, где  поэтому траектория никогда не сможет достичь поверхности сферы  т. е. остается внутри этой области при любых . В соответствии с определением устойчивости начало координат устойчиво.

Более наглядно, хотя и нестрого, геометрическое доказательство. Приведем его.

Если  представляет собой уравнение замкнутой поверхности в пространстве X, то поверхность  целиком находится внутри поверхности  если  Выберем С настолько малым, чтобы поверхность  лежала внутри сферы  Так как в любой точке поверхности  вдоль траектории, проходящей через эту точку, не возрастает, то траектория может или пересекать поверхность в направлении убывания С, т. е. снаружи внутрь, либо оставаться на поверхности там, где  Таким образом, любая траектория, начавшаяся внутри поверхности  или на ней, не сможет выйти за ее пределы.