Салыстырулар және салыстырулардыңнегізгі қасиеттері

БІРІНШІ ЖӘНЕ ЕКІНШІ ДӘРЕЖЕЛІ САЛЫСТЫРУЛАРДЫ ШЕШУ

Сандардың элементар теориясының маңызды мәселелерінің бірі болып табылатын салыстырулар теориясының негізінде болады. Салыстыру жөніндегі ұғым, мұны ең алғаш рет қолданған Гаусс, бір санның екінші санға бөлігіштігі ұғымымен тығыз байланысты. Бұл ұғым бізге әсіресе берілген сандардың бірі екіншісіне бөлінетін-бөлінбейтінін  және де қандай қалдық қалатынын білу керек болғанда аса қажет болмақ.

Екінші дәрежелі салыстырулар теориясы ХҮІІ-ХІХ ғасырлардағы аса көрнекті математиктер Ферма мен Эйлер, Лангранж бен Лежандр, Чебышев т.б. еңбектерінде туып, қалыптасты.Салыстырулар теориясы әдістері кеңінен ғылым, технология, экономика түрлі салаларында пайдаланылады

1. Салыстырулар және салыстырулардыңнегізгі қасиеттері

Сандардың элементар теориясының маңызды мәселелерінің бірі болып табылатын салыстырулар теориясының негізіне тоқталайық.

Мысалы, n – натурал сан болғанда,  мәнін табу үшін біз дәреже n-ді әдетте  4–ке бөлеміз де, тек қалдыққа ғана назар аударамыз. [pic 1]

Егер де   болса,  онда [pic 2]

болады. [pic 3]

бүтін сандар сақинасы, k – берілген бүтін сан, ал k  санына еселі барлық бүтін сандар жиыны болсын. [pic 4][pic 5]

Анықтама: Егер kсаны  санын бөлсе, онда aжәнеbсанына k модулі бойынша салыстырымды деп аталады. [pic 6]

Егер а саны kмодулі бойынша b-мен салыстырымды болса, онда оны былай белгілейді:

(1)[pic 7]

Салыстырымдылық қатынас:

1. Рефлексивті, яғни [pic 8]

Дәлелдеу. кез келген санға бөлінеді.[pic 9]

1. Симметриялы, яғни егер болса, онда .[pic 10][pic 11]

Дәлелдеу. Егер (a-b)k-ге бөлінсе, онда  –да  k-ге бөлінеді.[pic 12]

1. Транзитивті, яғни  егер және болса, онда .[pic 13][pic 14][pic 15]

Дәлелдеу. Егер (a-b) және k-ге бөлінсе, онда k-ге бөлінеді.[pic 16][pic 17]

Осыдан салыстырымдылық қатынасының эквиваленттік қатынас екендігін көреміз. Ал эквиваленттік қатынас жиынды кластарға бөледі. Олай болса Z-бүтін сандар жиыны да эквиваленттік кластарға бөлінеді. Осы эквиваленттік кластарды kмодулі бойынша қалындылар кластары деп атайды.

. Қалындылар кластарының кез келген екеуі қиылыспайды немесе беттеседі.[pic 18]

. А және В k-модулі бойынша қалындылар класы және . А және В беттеседі сонда тек сонда ғана, егер [pic 19][pic 20][pic 21]

. А k-модулі бойынша қалындылар класы және болса, онда , яғни . [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Тұжырым. kмодулі бойыншаa және b сандары салыстырымды болады сонда тек сонда ғана, егер a және b сандарын k-ге бөлгенде олардың қалдықтары бірдей болса.

Дәлелдеу.болсын. Осы теңдіктерден .  Егер  болса, онда Керісінше, егер болса, онда (1) формуладан -ның k-ге бөлінетіндігін аламыз, яғни .[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

Салыстырудың қасиеттері

Салыстырудың қасиеттері теңдіктің қасиеттеріне ұқсас болады.

1-қасиет(рефликсивті қасиеті) Кез келген сан өзімен өзі салыстырымды

[pic 33]

Дәлелдеу. кез келген санға бөлінеді.[pic 34]

2-қасиет(Симметриялыққасиеті)Егер болса,онда [pic 35][pic 36]

Дәлелдеу. Шынында да, айырмалары санына бірдей бөлінеді.[pic 37][pic 38]

3-қасиет (Транзитивті) Егер және болса, онда .[pic 39][pic 40][pic 41]

Дәлелдеу. Егер  (a-b) және айырмалары  –ға бөлінеді, демек, олардың -ға бөлінеді, яғни  .[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]