Различные подходы к определению общего понятия функции в школьном курсе математики

Доклад Прониной Н.Е. МИ-52

тема: «Различные подходы к определению общего понятия функции в школьном курсе математики»

2 слайд:

Актуальность данной темы заключается в том, что вопрос об оптимальном для средней школы определении функции так и не решен.

Обоснование функциональной линии как ведущей для школьного курса математики — одно из крупнейших достижений современной методики.

В методике обучения математике известны два основных типа трактовки понятия функции:

3 слайд:

1-ый тип связывает определения, которые возможно причислить к классическим, традиционным опирающимся на понятие переменной величины. Данные определения применяются и в школе, когда обучающиеся в первые знакомятся с функцией, повторяя исторический подход формирования определения функции.

Примеры данных определений вы можете увидеть на слайде.

[pic 1]

Классическое определение понятия функции основана на разработке и методическом освоении основных черт, вошедших в понятие функции до середины XIX в. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональных представлений, служат переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости.

Классическое раскрытие понятия функции обладает рядом достоинств. В нем подчеркивается «динамический» характер понятия функциональной зависимости, легко выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Такая трактовка естественно увязывается с остальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, используемых в нем, выражаются аналитически или таблично.

Классическое определение понятия функции содержит также черты, которые следует рассматривать как ограничительные. Одним из очень существенных ограничений является то, что переменная при таком подходе всегда неявно (или даже явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому в значительной степени понятие связывается только с числовыми функциями одного числового аргумента (определенными на числовых промежутках). В обучении приходится, используя и развивая функциональные представления, постоянно выходить за пределы его первоначального описания.

4 слайд:

2-ой вид связывает определения, которые причисляются к современным, имеющим теоретико-множественную основу.

Примеры второго вида определений вы можете увидеть на слайде.

[pic 2]

Современные определения понятия функции исходят из положения о том, что строить обучение функциональным представлениям следует на основе методического анализа понятия функции в рамках понятия алгебраической системы. Функция при таком подходе выступает в виде отношения специального вида между двумя множествами, удовлетворяющего условию функциональности. Начальным этапом изучения понятия функции становится вывод его из понятия отношения.

Реализация современного подхода вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств; язык школьной математики при этом обогащается. Помимо формул и таблиц, здесь находят свое место задание функции стрелками, перечислением пар, использование не только числового, но и геометрического материала; геометрическое преобразование при таком подходе оказывается возможным рассматривать как функцию. Обобщенность возникающего понятия и вытекающие отсюда возможности установления разнообразных связей в обучении математике — основные достоинства такой трактовки.

Однако выработанное на этом пути общее понятие оказывается в дальнейшем связанным главным образом с числовыми функциями одного числового аргумента, т. е. с той областью, в которой оно гораздо проще формируется на генетической основе.

5 слайд:

Также в нашем времени существует 3-ий вид трактовки понятия функция, в соответствии с который предоставляется определение не самого понятия функции, а только функционального условия. Для подобного определения, свойственна высказывание, которое вы можете увидеть на слайде.