Производная функции. Геометрический и механический смысл производной
Автор: Аргынбек Рахметов • Октябрь 13, 2021 • Лекция • 4,691 Слов (19 Страниц) • 339 Просмотры
ЛЕКЦИЯ 11
Производная функции. Геометрический и механический смысл производной. Таблица производных основных элементарных функций. Дифференциал функции. Производные высших порядков.
цель лекции: ввести понятие производной функции, рассмотреть геометрический и механический смысл производной, правила дифференцирования
ключевые слова (термины): производная функции, дифференцирование
основные вопросы (положения) и краткое содержание
Пусть дана функция [pic 1], которая определена в некотором промежутке. Дадим аргументу х приращение [pic 2](положительное или отрицательное – безразлично). Тогда функция [pic 3] получит приращение [pic 4], т.е: [pic 5]
Найдем приращение функции [pic 6]: [pic 7] и составим отношение приращения функции к приращению аргумента: [pic 8]
Найдем предел этого отношения при [pic 9]. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции [pic 10] и обозначают [pic 11]. Таким образом, по определению [pic 12] (4.1)
Наряду с обозначением [pic 13] применяют и другие обозначения, такие как: [pic 14].
Действие нахождения производной от функции [pic 15] называется дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х называют дифференцируемой в этой точке х.
Пример 1. Найдем производную функции [pic 16].
Решение. Найдем приращение функции:
[pic 17] , [pic 18],
[pic 19].
Составляем отношение: [pic 20].
Тогда [pic 21].
Итак, производная функции [pic 22] равна: [pic 23].
Пример 2. Дана функция [pic 24] . Найти [pic 25].
Решение. Приращение этой функции равно: [pic 26]
Составляем отношение: [pic 27].
Находим предел полученного выражения [pic 28].
Т.е. [pic 29].
Механический смысл производной.
Если зависимость расстояния S движущейся точки от времени t выражается формулой [pic 30], то скорость v в момент времени t можно выразить формулой:
[pic 31]
Таким образом, производная от пути S по времени t равна скорости движущейся точки. В этом состоит механический (физический смысл) производной.
Геометрический смысл производной.
Рассмотрим график функции [pic 32]. Зафиксируем на кривой [pic 33] точку [pic 34]. Дадим аргументу х приращение [pic 35], вследствие чего функция у получит приращение [pic 36]. Построим точку [pic 37].
Пусть функция [pic 38] в точке [pic 39][pic 40]
В [pic 41] имеет производную [pic 42]. [pic 43][pic 44][pic 45]
Известно, что
А [pic 46] [pic 47] [pic 48][pic 49]
...