Применение рядов в приближенных вычислениях

Аннотация

В данной курсовой работе рассматривается применение рядов в приближенных вычислениях. Работа содержит 2 главы. В первой главе рассматриваются ряды Тейлора и Маклорена, а также основные теоремы и определения, необходимые для дальнейшего анализа темы. Вторая глава посвящена рассмотрению приближенного вычисления функций, определенных интегралов и решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. В каждой главе содержаться примеры по рассматриваемому применению рядов в приближенных вычислениях.

Курсовая работа выполнена на 29 листах с использованием 4 источников.

Оглавление

Введение        4

1 Теория рядов        5

1.1        Ряд Тейлора и Маклорена        5

1.2 Разложение элементарных функций в степенные ряды        8

1.3 Остаток ряда и его оценка        12

2 Применение рядов в приближенных вычислениях        14

2.1 Приближенное вычисление значений функции        14

2.2 Приближенное вычисление определенных интегралов        16

2.3 Приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения        18

Заключение        20

Список использованных источников        21

Введение

Математика является наукой, которая широко используется на практике. Любой производственно-технологический процесс не обходится без фундаментальных математических закономерностей. Эффективное применение различных инструментов математического аппарата позволяет конструировать устройства и автоматизированные агрегаты, способные выполнять операции с высоким уровнем точности, выполнять сложные расчеты и вычисления при проектировании зданий и сооружений, производить необходимые вычисления при геодезических исследованиях. Подобная тесная связь приводит к взаимному обогащению, как самой математики, так и прикладных дисциплин. Зачастую идеи и методы, созданные для решения частных задач, принимают общий характер и требуют строгого обоснования. Те методы, которые выдержали всесторонние проверки и весьма длительные испытания, впоследствии становятся математическими теориями. В дальнейшем эти теории используются при решении более широкого круга задач, нежели те, на основе которых они были созданы. Инженерная практика в значительной мере ориентирует и стимулирует развитие математического аппарата.

Степенные ряды благодаря их простоте и замечательным свойствам нашли применение практически во всех разделах математики, физики и других наук. Рассматриваемые как предел многочленов при стремлении их степеней к бесконечности, они обладают почти всеми свойствами многочленов с той разницей, что для многих рядов эти свойства выполняются не для всех значений аргумента, а лишь для некоторого ограниченного множества значений.

Степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена находят огромное применение в реальной жизни. В этой работе показаны основные применения данных рядов в приближенных вычислениях.

1 Теория рядов

1. Ряд Тейлора и Маклорена

Предположим, что функция [pic 1] бесконечное число дифференцируема в окрестности некоторой точки [pic 2]. Допустим, что её можно представить в виде суммы степенного ряда, сходящегося в каком-то интервале, содержащем точку[pic 3]:[pic 4]

        [pic 5] 

Используя свойства степенных рядов, можно найти [pic 6] по известным значениям функции и её производных в точке [pic 7]. Положим в (1) [pic 8] будем иметь [pic 9].

Продифференцируем степенной ряд, получим:

        [pic 10]

снова положим [pic 11], получим [pic 12]. Далее