Вычисление дифференциала. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям значений функций

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 4

1.1 Определения 4

1.2 Понятие производной. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции в точке. 5

1.3 Геометрический и механический смысл производной 7

1.4 Таблица производных 8

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 9

2.1 ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 9

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ 10

3.1 ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ 10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 11

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 12

________________

ВВЕДЕНИЕ

Дифференцирование функции - одна из важнейших операций математического анализа, которую мы должны тщательно изучить. Учение о правилах дифференцирования и о свойствах производных называется дифференциальным исчислением и составляет собой один из основных разделов математического анализа. В первую очередь мы должны овладеть рядом как общих правил, так и специальных приемов дифференцирования, которые в конечном счете позволят нам находить производные и дифференциалы весьма широкого класса функций, в том числе – всех элементарных функций.

________________

ГЛАВА 1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

1.1 Определения

Производная функции − одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место. Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Обратная операция − восстановление функции по известной производной − называется интегрированием.

Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.

________________

1.2 Понятие производной. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции в точке.

Пусть задана функция где принадлежит интервалу от до и пусть некоторая точка интервала ( .

Предел называется производной функции в точке и обозначается. Таким образом, по определению

Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция , имеющая в каждой точке интервала производную, называется дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием и обозначается с помощью штриха.

Если ввести приращение аргумента и приращение функции , то производная функции в точке запишется в виде

.

Часто для обозначения производной вместо штриха используется символ т. е. .

Так как – произвольное значение аргумента, то будем обозначать его просто . Тогда формула примет вид .

О приращении аргумента и функции говорилось выше. Введем понятие разностного отношения – это отношения функции к приращению аргумента, т. е. .

Тогда определение производной можно записать так: производной функции в точке является предел разностного отношения, если приращения