Особые точки и правила вычисления вычета в особых точках

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

<<МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ>>

Реферат на тему «Особые точки и правила вычисления вычета в особых точках»

Студент                                             Пименов А. А.

Группа                                                                             ЭР-14-18

Преподаватель                                                              Кленина Л. И.

Москва

2019

Особые точки.

Определение. Особая точка [pic 1]функции [pic 2] называется изолированной, если в некоторой окрестности этой точки [pic 3] – аналитическая функция (то есть аналитическая в кольце[pic 4] ).
Классификация изолированных особых точек функции [pic 5] связана с поведением этой функции в окрестности особой точки.
Определение. Точка [pic 6] называется устранимой особой точкой функции[pic 7] , если существует конечный предел этой функции при [pic 8] .
Пример 1. Показать, что функция [pic 9] имеет в точке [pic 10]устранимую особенность.
Решение. Вспоминая первый замечательный предел, вычислим
[pic 11] .
Значит, в точке [pic 12] заданная функция имеет устранимую особенность.
Определение. Точка [pic 13] называется полюсом функции [pic 14] , если эта функция неограниченно возрастает при [pic 15] , то есть [pic 16] .
Обратим внимание на связь между понятиями нуля и полюса аналитической функции. Представим функцию [pic 17] в виде [pic 18] .
Если точка [pic 19] является простым нулем функции [pic 20] , то функция [pic 21]имеет в [pic 22] простой полюс

Если точка [pic 23] – нуль порядка [pic 24] для функции [pic 25] , то для функции[pic 26] это полюс порядка [pic 27] .
Пример 2. Показать, что функция [pic 28] имеет в точке [pic 29] полюс третьего порядка.
Решение. Полагая [pic 30] , получим [pic 31] . При стремлении [pic 32] к нулю по любому закону имеем [pic 33] . Тогда [pic 34] , а с ним и сама функция неограниченно возрастает. Следовательно,[pic 35] , то есть особая точка [pic 36] является полюсом. Для функции [pic 37] эта точка, очевидно, является трехкратным нулем. Значит, для данной функции точка [pic 38] является полюсом третьего порядка.
Определение. Точка [pic 39] называется существенно особой точкой функции [pic 40] , если в этой точке не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции (поведение функции не определено).
Пусть [pic 41] является существенно особой точкой функции [pic 42] . Тогда для любого наперед заданного комплексного числа [pic 43] найдется такая последовательность точек [pic 44] , сходящаяся к [pic 45] , вдоль которой значения [pic 46] стремятся к [pic 47] : [pic 48] (теорема Сохоцкого).
Пример 3. Показать, что функция [pic 49] в точке [pic 50] имеет существенную особенность.
Решение. Рассмотрим поведение заданной функции в окрестности точки [pic 51] . При [pic 52] вдоль положительной части действительной оси (т.е. [pic 53] ) имеем [pic 54] и [pic 55] ; если же [pic 56] вдоль отрицательной части действительной оси (т.е. [pic 57] ), то [pic 58] и[pic 59] . Значит, не существует предела [pic 60] при [pic 61] . По определению, в точке [pic 62] функция [pic 63] имеет существенную особенность.
Рассмотрим поведение функции [pic 64] в нуле с точки зрения теоремы Сохоцкого. Пусть [pic 65] – любое комплексное число, отличное от нуля и бесконечности.