Негізгі анықтамалар мен негізгі леммалар

1-дәріс. Негізгі анықтамалар мен негізгі леммалар

Вариациялық қисаптың негізгі анықтамалары

1.1-анықтама. Егер қайбір М класындағы функциялардың әрбір [pic 1] функциясына [pic 2] шамасы сәйкес келсе, яғни [pic 3] функциясына [pic 4] саны сәйкес келсе, айнымалы [pic 5] шамасы [pic 6] функциясына тәуелді функционал деп аталады да, былай белгіленеді: [pic 7]. Функционал анықталған функциялардың М класы функционалдың анықталу облысы делінеді.

Бірнеше функцияға тәуелді және бірнеше айнымалының функциясына тәуелді функционалдар дәл осылай анықталады.

 1.2-анықтама. [pic 8] функционалының [pic 9] аргументінің  өсімшесі немесе [pic 10] вариациясы  деп  екі функцияның  айырмасын айтамыз: [pic 11].

Егер берілген [pic 12] пен [pic 13] функциялары үшін [pic 14][pic 15]айырмасының модулі барлық  х кезінде мейлінше аз болса, онда бұл қисықтарды  жақын деп санаймыз. Яғни ординаттары жақын қисықтарды  жақын қисықтар дейміз.

Әдетте,  ординаттары бойынша да, тиісті нүктелердегі жанамаларының бағыты бойынша да, жақын қисықтар ғана бір-біріне жақын саналады. Яғни  жақын қисықтар үшін [pic 16][pic 17] айырмасымен қатар [pic 18][pic 19] айырмасының да модулдері аз болуы шарт. Кейде берілген [pic 20] пен [pic 21]функциялары үшін барлық [pic 22] кезінде[pic 23][pic 24],

[pic 25][pic 26],...,[pic 27][pic 28] айырмалардың әрқайсысының модулі аз болатын қисықтарды жақын деп санау қажет.

1.3-анықтама. Егер [pic 29] пен [pic 30] функциялары үшін [pic 31][pic 32],       [pic 33][pic 34],...,[pic 35][pic 36] модулдері барлық х мәндері үшін мейлінше  аз болса, онда [pic 37] пен [pic 38]функцияларын к-сыншы (к=1,2,3,...) ретте жақын дейміз. Басқаша айтқанда [pic 39] пен [pic 40] қисықтары к-сыншы (к=1,2,3,...) ретте жақын болса:

                         [pic 41].

Нөлінші ретте жақын, бірақ бірінші ретте жақын емес қисықтар 1.1-суретінде келтірілген. Ал бірінші ретте жақын қисықтар 1.2-суре- тінде бейнеленген.      

[pic 42]

        Сонымен, 1.3-анықтамадан  егер қисықтар к-сыншы (к=1,2,3,...) ретте жақын болса одан төменгі ретте де жақын екендігін көреміз.

1.4-анықтама. Егер берілген [pic 43] пен [pic 44]функцияларында [pic 45] үшін

[pic 46],[pic 47],...,[pic 48]

кезінде барлық х мәнінде [pic 49] болатын  [pic 50] санын таңдай алсақ, онда к-сыншы ретте жақын [pic 51] кезінде [pic 52] функционалы үзіліссіз. Бұл кезде [pic 53] функциясы функциялардың  [pic 54] функционалы анықталған М класынан алынады деп ұйғарамыз.                

Функционалдың мәндері салыстырылатын қисықтар ұйғарымды қисықтар деп аталады.

 1.5-анықтама. Келесі шарттарды:

1)[pic 55], мұндағы с - қайбір тұрақты сан;

2)[pic 56]

қанағаттандыратын функционал  сызықты функционал делінеді.

1.6-анықтама.  Егер  функционалдың [pic 57]өсімшесін

                                   [pic 58]

түрінде  жаза алсақ, онда функционалдың [pic 59]ке қатысты сызықты бөлігі, яғни [pic 60] функционалдың вариациясы деп аталады да  [pic 61] арқылы белгіленеді. 

Мұндағы [pic 62]  дегеніміз [pic 63] ке қатысты сызықтық функционал, ал [pic 64] – функция нормасы және [pic 65] кезінде [pic 66].