Метод коллокации подобластей
Автор: Илья Любченко • Апрель 27, 2020 • Курсовая работа • 935 Слов (4 Страниц) • 371 Просмотры
Оглавление
1. Введение 2
1.1 Метод коллокации подобластей 2
2. Задача 4
2.1 Постановка задачи 4
2.2 Параметры задачи 5
2.3 Обезразмериванние задачи 6
3 Решение задачи 7
3.1 Точное решение 7
3.2 Решение методом коллокации подобластей 8
3.3 График решений 15
3.4 Погрешность 16
Приложение 1 17
Введение
1.1 Метод коллокации подобластей
Разобьем область [a , b] на части:
[pic 2][pic 1]
[pic 3]
[pic 5][pic 4]
[pic 6]
Тогда приближенное решение будем искать в виде:
[pic 7] | (1) |
Распишем для каждой из подобластей уравнения моментов:
при k=1:
[pic 8]
[pic 9]
при k=2:
[pic 10]
[pic 11]
при k=3:
[pic 12]
[pic 13]
Затем расписываем суммы мы получим систему линейных алгебраических уравнений, из которой найдем неизвестные нам и потом, подставив в наше выражение (9), получим приближенное решение.[pic 14]
Задача
Постановка задачи
Упругая балка длиной 𝑙 с постоянной жесткостью на изгиб
,[pic 15]
где – модуль упругости материала балки,[pic 16]
– геометрический момент инерции её поперечного сечения,[pic 17]
закреплена таким образом, что ее прогиб 𝑤(𝑥) удовлетворяет условиям:
𝑤(0) = 𝑤 ′′(0) = 𝑤(𝑙) = 𝑤 ′′(𝑙) = 0 .
Зависимость поперечного прогиба 𝑤(𝑥) балки от продольной координаты 𝑥 удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению четвёртого порядка:
[pic 18]
Задача:
- Найти форму прогиба оси балки под действием распределенной нагрузки интенсивностью:
;[pic 19]
методом коллокации в подобласти, рассмотрев два случая: Ν = 1, Ν = 5.
- Сравнить результаты приближенных решений с точным решением задачи.
2.2 Параметры задачи
Дана балка длинной l:[pic 20][pic 21]
С жесткостью на изгиб равной:
, [][pic 22][pic 23]
На которую действует распределенная нагрузка:
;[pic 24]
Закрепленная таким образом, что ее прогиб 𝑤(𝑥) удовлетворяет условиям:
[pic 25] | (2) |
Зависимость поперечного прогиба 𝑤(𝑥) балки от продольной координаты 𝑥 удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению четвёртого порядка:
[pic 26] | (3) |
2.3 Обезразмериванние задачи
Обозначим:
[pic 27]
[pic 28] | [pic 29] | (4) |
И получим следующее выражение, подставив (4) в (3):
[pic 30] | (5) |
Тогда
[pic 31]
где [pic 32]
Таким образом мы получили обезразмеренную задачу:
[pic 33] | (6) |
Решение задачи
3.1 Точное решение
Обезразмеренная задача (6):
[pic 34]
После того как мы обезразмерили нашу задачу, решим ее аналитически, т. е. найдем точное решение:
...