Метод сплайн-коллокации
Автор: Даниил Верёвкин • Май 19, 2023 • Лабораторная работа • 823 Слов (4 Страниц) • 115 Просмотры
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»
Лабораторная работа № 1
по дисциплине:
«Дополнительные главы вычислительной математики»
по теме:
«Метод сплайн-коллокации»
Выполнил: студент гр. 241421/02 Верёвкин Д.В.
Принял: профессор кафедры Толоконников Л.А.
Тула 2023 г.
Метод сплайн-коллокации
Цель работы:
Изучить и применить метод сплайн-коллокации для решения краевой задачи.
Задание:
Методом сплайн-коллокации решить следующую краевую задачу:
[pic 1]
[pic 2]
[pic 3]
По варианту: .[pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
Решение:
[pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
Согласно методу сплайн-коллокации для решения краевой задачи введём равномерную сетку на отрезке с шагом h=0,1.[pic 16][pic 17]
[pic 18]
Будем искать приближенное решение краевой задачи в виде – кубического сплайна дефекта 1 класса с узлами на сетке . Сплайн будет приближать искомое решение [pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
Допустим, что все узлы сетки совпадают с точками коллокации . Тогда уравнение примет вид:[pic 26][pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
Введём и , где [pic 31][pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
Получаем:
[pic 36]
[pic 37]
Подставляя (2)-(4) в (1), приходим к N+1 уравнениям:
[pic 38]
[pic 39]
[pic 40]
где
[pic 41]
Из уравнения (3) при i=0 будем иметь:
[pic 42]
С учётом (2), (4) и (6) из начальных условий получаем ещё два уравнения:
[pic 43]
[pic 44]
К уравнениям (5) и (7) добавим N-1 уравнений:
[pic 45]
[pic 46]
Здесь
[pic 47]
[pic 48]
В результате получаем полную систему 2(N+1) линейных уравнений, из которой определим 2(N+1) параметров . Тем самым получаем приближённое решение задачи.[pic 49]
Преобразуем систему:
[pic 50]
[pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
[pic 55]
[pic 56]
Построенная матрица системы уравнений, где первые 11 столбцов - , следующие - , а последний столбец - . Для лучшей наглядности все коэффициенты были округлены до сотой:[pic 57][pic 58][pic 59]
[pic 60]
Решим её с помощью метода Гаусса (см. листинг).
[pic 61]
Найденные :[pic 62]
[pic 63]
Далее полученный результат подставляем в следующую формулу и получаем сплайн-функцию решения краевой задачи:
[pic 64]
где
[pic 65]
Преобразуем:
[pic 66]
[pic 67]
[pic 68]
[pic 69]
[pic 70]
Получаем следующие сплайн-функции через t:
[pic 71]
Построенный график в программе Desmos:
[pic 72]
Итоги.
Был изучен и рассмотрен на практике метод сплайн-коллокации для решения краевой задачи.
ЛИСТИНГ
from stringprep import map_table_b2
import numpy
x=[0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1]
...