Методика вивчення числових систем в шкільному курсі математики

Алгебра.

Лекція 1.

Тема 1: Методика вивчення числових систем в шкільному курсі математики.

План:

1. Проблема послідовності вивчення чисел в шкільному курсі математики.

2. Методика вивчення натуральних чисел, правил порівняння і дій з ними.

3. Методика вивчення дробових чисел.

4. Методика вивчення від`ємних чисел.

5. Методика вивчення дійсних чисел.

1. Поняття числа є фундаментальним поняттям сучасної математики. Число є основним знаряддям, за допомогою якого людина пізнає кількісні відносини реального миру. Це поняття виникло і сформувалося в результаті багатократного застосування операції рахунку, перерахування предметів, тобто виникло з потреб практичної діяльності людей. Далеко не завжди вирішення таких завдань було простим. Але в результаті зусиль багатьох поколінь, у міру розвитку здатності людей до абстрагування, виниклі труднощі успішно долалися.

Услід за натуральними числами в ході тривалого і складного процесу історичного розвитку виникають дробові, від`ємні, ірраціональні, дійсні числа. Кожне таке розширення числових систем відбувається під впливом потреб вимірювання величин і внутрішніх потреб самої математики.

В міру того, як виникали нові числові системи, робилися спроби їх уточнення, розроблялися і обгрунтовувалися правила операції новими числами, Проте накопичені знання про числа оформилися в математичну теорію лише в другій половині 19 століття, коли багато видатних математиків зайнялися проблемою обгрунтування математики.

Згідно програмі по математиці питання, пов'язані з розширенням поняття числа в школі починають вивчатися в курсі математики 5-6 класів, потім їх вивчення продовжується в курсі алгебри 7-9 класів і далі в курсі алгебри і початків аналізу в 10-11 класах. Причому, основні положення, пов'язані з розширенням уявлення про число, віднесено до курсу математики 5-6 класів.

У сучасній математичній теорії прийнята така послідовність розгляду різних числових множин: [pic 1].

                                            Комплексні числа[pic 2][pic 3]

              Дійсні числа                                                 Уявні числа

[pic 4][pic 5]

Раціональні числа     Ірраціональні числа[pic 6][pic 7]

Цілі числа     Дробові числа

[pic 8][pic 9]

Цілі додатні числа   Цілі від`ємні числа

[pic 10][pic 11]

Натуральні числа     Нуль

Числова множина вважається побудованою, якщо задані:

• елементи множини;
• відносини еквівалентності для елементів множини;
• операції складання, множення з певними властивостями.

Для будь-яких теоретичних підходів до побудови числових систем характерна строга логічна послідовність, яка не співпадає з історичним ходом розвитку поняття числа, - досить пригадати, що прості уявлення про дроби виникли задовго до появи від`ємних чисел, тобто «всупереч логіці» елементи множини Q були пізнані людьми до побудови множини Z. Саме те, що  логічний і історичний шляхи розвитку поняття числа не співпадають породило багато суперечок про послідовність вивчення числових множин в школі.

Перший етап побудови числових систем суперечок не викликав – це побудова множини N. Не викликає суперечок і включення в початкове навчання деяких відомостей про дроби (долях одиниці). Проте подальше розширення відомостей про число може вестися по-різному.

Хай у нас є множина Z[pic 12]- множина цілих додатних чисел і нуль з визначеними на ній операціями складання, множення і є необхідність піддати його розширенню.

При розширенні поняття числа в шкільному курсі математики доводиться враховувати внутрішні потреби самої математики (здійснимість операцій), потреби практики (вимірювання величин), можливості засвоєння учбового матеріалу дітьми певного віку.