Лабораторна робота з «Чисельні методи»

Лабораторна робота №2

з дисципліни: «Чисельні методи»

Завдання (Варіант 4):

Напишіть програму визначення нуля заданої функції однією з алгоритмічних мов. Програма має містити чотири алгоритми, які грунтуються на таких методах: половинного ділення, хорд,Ньютона; комбінованого хорд і дотичнихВихіднідані для програми: [а, б]–інтервал ізоляції кореня; f(x) –функція, нуль якої відшукується.Результатом роботи програми є масив, який містить у собі таблицю послідовних наближень нуля функції і значень самої функції,атакож графіки функції та пошуку.

Виконання завдання:

Які методи та формули використані:

• У всіх методах використовується інтервал [a, b] як початковий інтервал для пошуку кореня.
• При обчисленні похибки використовується умова error >= epsilon, де epsilon - задана точність пошуку.

1. Метод половинного ділення:

• Використовується формула x = (a + b) / 2 для знаходження середини інтервалу.
• У кожній ітерації перевіряється, на якому півінтервалі розташований корінь функції.
• Вибирається новий інтервал [a, x] або [x, b] залежно від положення кореня.
• Повторюється до досягнення заданої точності.

1. Метод хорд:

• Використовується формула x = (a * f(b) - b * f(a)) / (f(b) - f(a)) для знаходження нового наближення до кореня.
• У кожній ітерації розраховується значення функції f(x) для нового x.
• Вибирається новий інтервал [a, x] або [x, b] залежно від знаку f(x).
• Повторюється до досягнення заданої точності.

1. Метод Ньютона:

• Використовується формула x = x - f(x) / f'(x) для знаходження нового наближення до кореня.
• У кожній ітерації розраховується значення похідної функції f'(x) для поточного x.
• Вибирається новий інтервал [a, x] або [x, b] залежно від знаку f(x).
• Повторюється до досягнення заданої точності.

1. Комбінований метод хорд і дотичних:

• Поєднує принципи методів хорд і Ньютона.
• Використовується формула x = x - f(x) * (xTangent - x) / (f(xTangent) - f(x)), де xTangent - точка перетину дотичної до графіка функції з осі абсцис з відрізком [a, b].
• У кожній ітерації розраховується значення функції f(x) та похідної функції f'(x) для поточного x та xTangent.
• Вибирається новий інтервал [a, x] або [x, b] залежно від знаку f(x).
• Повторюється до досягнення заданої точності.

Код написаних функцій:

//метод половиного ділення

public static List<IterationResult> bisectionMethod(Function function, double a, double b, double epsilon) {
   List<IterationResult> results = new ArrayList<>();
   double fa = function.evaluate(a);
   double fb = function.evaluate(b);

   if (fa * fb >= 0) {
       System.out.println("No root found in the given interval for Bisection Method");
       return results;
   }

   int iteration = 0;
   double x = a;
   double fx = fa;
   double error = Math.abs(b - a);

   while (error >= epsilon) {
       double prevX = x;
       x = (a + b) / 2;
       fx = function.evaluate(x);

       if (fa * fx < 0) {
           b = x;
           fb = fx;
       } else {
           a = x;
           fa = fx;
       }

       error = Math.abs(x - prevX);
       results.add(new IterationResult(iteration, x, fx));
       iteration++;
   }

   return results;
}

//метод хорд

public static List<IterationResult> chordMethod(Function function, double a, double b, double epsilon) {
   List<IterationResult> results = new ArrayList<>();
   double fa = function.evaluate(a);
   double fb = function.evaluate(b);

   if (fa * fb >= 0) {
       System.out.println("No root found in the given interval for Chord Method");
       return results;
   }

   int iteration = 0;
   double x = a;
   double fx = fa;
   double error = Math.abs(b - a);

   while (error >= epsilon) {
       double prevX = x;
       x = (a * function.evaluate(b) - b * function.evaluate(a)) / (function.evaluate(b) - function.evaluate(a));
       fx = function.evaluate(x);

       if (fa * fx < 0) {
           b = x;
           fb = fx;
       } else {
           a = x;
           fa = fx;
       }

       error = Math.abs(x - prevX);
       results.add(new IterationResult(iteration, x, fx));
       iteration++;
   }

   return results;
}