Квадраттық теңсіздікті шешудің бірнеше тәсілі

Пән атауы: Математикалық  есеп  шығару  практикумы

Сабақтың тақырыбы   Квадраттық  теңсіздікті  шешудің  бірнеше  тәсілі

Тобы: МК -115

Күні:   17.03.2021

Типі:  практикалық

Анықтама:    ax2+bx+c<0;   ax2+bx+c>0  (мұндағы х – айнымалы; а, b, с – сандар,​​​​​​​ a≠0 ) түріндегі теңсіздіктер квадраттық теңсіздіктер деп аталады.

Квадраттық теңсіздіктің шешімі деп квадраттық теңсіздікті қанағаттандыратын айнымалының барлық мәндерінің жиынын айтады.

Оны шешудің үш түрлі тәсілін қарастырайық:

а) квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеп, әрбір көбейткіштің нөлге айналатын нүктелерін анықтап, осы нүктелер көмегімен сан осін бөліктерге бөліп және осы бөліктердің әрқайсысында көбейткіштердің таңбалары арқылы квадрат үшмүшенің таңбасын анықтау. Бұл тәсіл – аралықтар (интервалдар) әдісі деп аталады.

ә) квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеп, көбейтіндінің оң (не теріс) болуы заңдылықтарын қолдану: немесе   a⋅b>0 ⇔ [pic 1].

б) квадрат үшмүше графигінің абсциссалар осіне қатысты орналасуын анықтап, оның оң және теріс бөліктерін көрнекі деңгейде анықтау.

Квадрат теңсіздіктерді шешу үшін:

I жағдай. ​​​​​​​  1) а>0 және D>0.   Квадраттық функцияның графиктері абсцисса осін х1, х2 нүктелерде қияды, парабола тармақтары жоғары бағытталған.  аx2+bx+c>0 функциясы үшін түбірлерінің «сыртындағы» мәндер ;   ax2+bx+c<0 функциясы үшін түбірлерінің «арасындағы» мәндер алынады.

2) а<0 және D>0.       Бұл жағдайда парабола тармақтары төмен бағытталады.  аx2+bx+c<0 теңсіздігі үшін х<х1  және х>х2.    ax 2+bx+c>0  теңсіздігі үшін х1 < х < х2 болады.

I I жағдай.   1) а>0 және D=0.  Квадрат үшмүшенің екі бірдей түбірі бар: x 1=x2=  [pic 2] 

ax 2+bx+c<0  теңсіздігі үшін шешімі болмайды. 

ax2+bx+c>0 теңсіздігі үшін x=[pic 3]   мәнінен басқа кез келген мән болады.

2) а< 0 және D=0.  Бұл жағдайда парабола абсцисса осін ​​​​x= [pic 4]  нүктесінде  жанайды, Ох осінен тармақтары төмен бағытталады.

ax 2+bx+c<0 теңсіздігі үшін x= [pic 5] мәнінен басқа кез келген  мән болады.

ax2+bx+c>0 теңсіздігі үшін шешімі болмайды.

III Жағдай.       1) а>0 және D < 0. Бұл жағдайда квадрат үшмүшенің нақты түбірлері жоқ және график Ох осінен жоғары орналасқан, яғни абсцисса осімен қиылыспайды. Сондықтан ax2+bx+c>0  теңсіздігі х-тің кез келген мәнінде орындалады,  ал ax2+bx+c<0  теңсіздігінің шешімі болмайды.

2) а < 0 және D < 0.   Квадрат үшмүшенің нақты түбірлері жоқ және график Ох осінен төмен орналасқан, яғни абсцисса осімен  қиылыспайды . ax2+bx+c<0 теңсіздігі х-тің кез келген мәнінде орындалады,  ал​​​​​​​ ax2+bx+c>0  теңсіздігінің шешімі болмайды.

2. Квадрат  теңсіздіктерді  шешудің  бір тәсілі

        Математика пәнінің мектеп курсында квадрат теңсіздіктерді шешудің маңызының зор екені баршаға аян. Квадрат теңсіздіктерді шешудің жолдары 8 сынып алгебра оқулықтарында да, оқушыларға арналған математикалық ғылыми-көпшілік әдебиеттерде де жеткілікті түрде баяндалған. Ұсынылып отырған тәсілдің ерекшелігі  [pic 6][pic 7] оқушылардан квадрат үшмүшенің түбірлерін (нөлдерін) дұрыс табуды ғана қажет етеді. Ең алдымен, теңсіздікті шешуге қажетті 2-3 математикалық терминдерді енгізу қажет. Олар: «стандарт түрдегі квадрат теңсіздік», «кіші аралық» және «үлкен аралық». «Стандарт түрдегі квадрат теңсіздік» - деп квадрат үшмүшесінің 1-ші коэффиценті оң болатын теңсіздікті, кіші аралық деп (х1;х2) немесе [х1;х2], ал үлкен аралық деп ([pic 8][pic 9] ;х1)[pic 10][pic 11](х2; +[pic 12][pic 13]немесе[pic 14][pic 15] ;х1][pic 16][pic 17]х2; +[pic 18][pic 19] аралықтарын айтамыз. Мұндағы х1; х2 – квадрат үшмүшенің нөлдері. Сонда кез келген стандарт түрдегі квадрат теңсіздіктің шешуі, егер теңсіздік таңбасы [pic 20][pic 21] «кіші аралық», ал [pic 22][pic 23] болса «үлкен аралық» болатыны квадраттық функцияның таңба тұрақтылық аралықтарынан тікелей шығатынын байқау қиын емес.