Интерполирование функции

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

_______________________________________________________________________

Кафедра автоматики

[pic 1]

ОТЧЁТ

по лабораторной работе №1

по дисциплине: «Вычислительная математика»

Тема: «Интерполирование функции»

        Выполнил(а):        Проверил:

        Студент(ка) гр. « ДТ360а »                                       «старший преподаватель»

        «Рогалев Геннадий Григорьевич»                            «Уберт Алексей Игоревич»

        «22» января 2026г.        «___» ______ 2026г.

Новосибирск, 2026

Цель работы

Ознакомиться с методикой приближенного представления функций в виде интерполяционного полинома и способами оценивания погрешностей интерполяции.

Постановка задачи

Вычислить приближенные значения функции y  f (x), x[a, b] с шагом x

(x  0,1) посредством интерполяционного полинома Pn(x), n[2, 5], x[a,b] , оп-

ределенного через yi  f (xi ) в узлах интерполяции xi , i[1, N] ( N [3, 6],

N  n 1) с шагом h  (b  a) / (N 1)= const на интервале [a, b].

Оценить погрешности интерполирования функции y  f (x), x[a, b] .

Исследовать влияние количества узлов N на точность интерполирования.

1. Интерполяционный полином Лагранжа Ln​(x)

Пусть заданы узлы интерполяции x0​,x1​,…,xn​ и соответствующие значения функции y0​=f(x0​),y1​=f(x1​),…,yn​=f(xn​). Тогда интерполяционный полином Лагранжа степени n записывается в виде:

Ln(x)=[pic 2]

где ℓi​(x) — базисные полиномы (множители Лагранжа), определяемые как:

ℓi​(x)=j=0j=i​∏(x-xj)/(xi-xj)=[pic 3]

Свойства:

• Ln(xi)=yi​ для всех i=0,1,…,n (полином проходит через все заданные точки);
• степень Ln​(x) не превышает n;
• форма удобна, когда узлы интерполяции фиксированы, а значения функции меняются.

2. Остаточный член Rn​(x) и его оценка

Остаточный член (погрешность интерполяции) определяется как разность между истинной функцией f(x) и интерполяционным полиномом:

Rn​(x)=f(x)−Ln​(x).

Точное выражение для остаточного члена (при условии, что f(x) имеет производную порядка n+1 на отрезке [a,b], содержащем узлы xi​):

Rn​(x)=⋅ωn​(x),[pic 4]

где:

• ξ∈(a,b) — некоторая точка, зависящая от x;
• ωn​(x)=(x−x0​)(x−x1​)⋯(x−xn​) — многочлен степени n+1, обращающийся в ноль в узлах интерполяции.

Оценка остаточного члена (верхняя граница погрешности):

∣Rn​(x)∣≤∣ωn​(x)∣,[pic 5]

где:

• Mn+1​=supx∈[a,b]​∣f(n+1)(x)∣ — максимум модуля (n+1)-й производной функции f(x) на отрезке [a,b].

Реализация: при N=3

  x               F(x)                       P(x)                      E(x)

0.10         1.1033e-01         1.1033e-01        -6.9389e-17