Целевые функции
Автор: Chrysta • Январь 18, 2018 • Контрольная работа • 3,881 Слов (16 Страниц) • 811 Просмотры
Задача 1.
[pic 1] | 1. Найти максимальное и минимальное значения целевой функции. 2. Исследовать влияние коэффициентов целевой функции на точку оптимального решения (точка максимума). 3. Оценить влияние правой части неравенств ограничений (линии на пересечении которых находится точка максимума) на значение целевой функции (цена изменения ресурса). |
Решение
Необходимо найти максимальное и минимальное значение целевой функции F = 7x1+9x2 → max, при системе ограничений:
7x1-8x2≥-12, (1)
5x1+2x2≥30, (2)
3x1-8x2≤48, (3)
3x1+4x2≤84, (4)
x1 ≥ 0, (5)
x2 ≥ 0, (6)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Построим уравнение 7x1-8x2 = -12 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 1.5. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = -1.71. Соединяем точку (0;1.5) с (-1.71;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:7 • 0 - 8 • 0 + 12 ≥ 0, т.е. 7x1-8x2 + 12≥ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение 5x1+2x2 = 30 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 15. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 6. Соединяем точку (0;15) с (6;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:5 • 0 + 2 • 0 - 30 ≤ 0, т.е. 5x1+2x2 - 30≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
Построим уравнение 3x1-8x2 = 48 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = -6. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 16. Соединяем точку (0;-6) с (16;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:3 • 0 - 8 • 0 - 48 ≤ 0, т.е. 3x1-8x2 - 48≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение 3x1+4x2 = 84 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 21. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 28. Соединяем точку (0;21) с (28;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:3 • 0 + 4 • 0 - 84 ≤ 0, т.е. 3x1+4x2 - 84≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
[pic 2]
Или
[pic 3]
Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
[pic 4]
Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 7x1+9x2 → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 7x1+9x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (7; 9). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.
...