Измерение отрезков

Измерение отрезков

Большинство применений математики сводится к двум основным задачам: подсчету числа элементов конечного множества и измерению величин. При перечислении элементов конечных множеств ответ выражается натуральным числом: четыре арбуза, восемь грузовиков, три куска материи. При этом не обращают внимания на то, что массы арбузов могут оказаться различными, что куски материи могут иметь разную длину, а грузовики – разную грузоподъемность. Однако чтобы узнать, хватит ли материи в этих кусках для изготовления костюмов на четырех человек, надо измерить длину каждого куска. Вообще, измерение величин, т.е. сравнение этих величин с некоторой единицей измерение (метром, килограммом и т.д.) и выражение результата сравнения числом, встречается почти в любом виде человеческой деятельности.

Если измеряемую величину можно разделить на несколько частей, «равных» (в том или ином смысле) единице измерения, то результат измерения (или, как говорят, мера величины) выражается натуральным числом. Чаще, однако, единица измерения не укладывается целое число раз в измеряемой величине. Поэтому для выражения меры величины приходится расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных.

В этой главе мы рассмотрим различные расширения множества натуральных чисел, построив сначала множество положительных рациональных чисел Q₊, потом – множество действительных чисел R. При этом для каждого вида чисел будут определены операции сложения и умножения, отражающие определенные операции над измеряемыми величинами и единицами измерения. Чтобы выяснить, какова эта связь, рассмотрим измерение длин отрезков.

Скажем, что отрезок а разбит на отрезки а₁, а₂,…, аₙ, (или состоит из этих отрезков), если он является их объединением, причем никакие два из них не имеют общей внутренней точки (не налегают друг на друга), хотя и могут иметь общие концы (рис. 178).

Если отрезок а разбит на отрезки а₁, а₂, …, аₙ, то его называют суммой этих отрезков и пишут:

а=а₁+а₂+…+аₙ или а=∑_(k=1)^n▒〖аₖ〗 .

Выберем некоторый отрезок е и назовем его единичным отрезком или единицей измерения длины. Если отрезок а можно разбить на n отрезков, каждый из которых конгруэнтен единичному отрезку е, то скажем, что отрезок а кратен отрезку е, и назовем число n мерой или значением длины отрезка а при единичном отрезке е. Меру отрезка а при единичном отрезке е обозначим mₑ(а). Если единичный отрезок е фиксирован, то вместо mₑ(а) будем писать m(а) и называть это число просто длиной (а не значением длины) отрезка. Необходимо иметь в виду, что при переходе к другой единице измерения число m(а) изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным.

Если m(a)=n, то будем писать а ͇~ n·e, что означает: отрезок а состоит из n отрезков, конгруэнтных отрезку е. Очевидно, что при замене отрезка е конгруэнтным ему отрезком f мере не изменяется, mₑ(a)=m₁(a) (при измерении какого-нибудь отрезка двумя различными линейками получается одинаковые результаты, если, конечно обе линейки одинаково градуированы).