Елементи теорії похибок. Обчислення з наближеними числами

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІНФРАСТРУКТУРИ ТА ТЕХНОЛОГІЙ

КИЇВСЬКИЙ ІНСТИТУТ ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ

Факультет «Інфраструктура та рухомий склад залізниць»

«Управління залізним транспортом»

Кафедра «Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології»

«ТТУПП»

ПРАКТИЧНА (ЛАБОРАТОРНА) РОБОТА №1

з навчальної дисципліни[pic 1][pic 2][pic 3]

«Математичні моделі в транспортних системах»

Виконала студентка групи Швирид Ю.В.

Перевірила: к.т.н., доцент за каф. СШІТ

Кокряцька Наталія Іванівна

Київ - 2022 р.

Лабораторна робота 1

Тема: «Елементи теорії похибок. Обчислення з наближеними числами»

Мета: засвоїти поняття вірних (точних) значущих цифр, навчитися виконувати обчислення з наближеними числами, оцінювати похибки.

Короткі теоретичні відомості

Основними в теорії наближених обчислень є поняття: «точне і наближене значення числа (величини)», «абсолютна похибка», «відносна похибка», «значущі цифри», «точність наближеного значення», «правильні цифри».

 Є чотири джерела похибок (помилок) при виконанні інженерних розрахунків такі, як: 

1. Похибки математичної моделі. Їх пов'язано з певними спрощеннями моделі об’єкту або процесу дослідження. Вони не контролюються у процесі чисельного розв'язування задачі і можуть бути зменшені лише за рахунок більш точного математичного опису фізичної задачі.

2. Похибки первісних даних. Значення параметрів, що входять у математичний опис задачі, вимірюються експериментально з деякою похибкою.

Похибки математичної моделі і вихідних даних у цілому утворюють так звані неусувні похибки. Назву обумовлено тим, що ці види похибок не можна усунути шляхом організації обчислень. Зменшення їх лежить лише на шляху перебудови математичної моделі і точнішого виміру вихідних даних.

3. Похибки наближеного методу, або похибки усікання. При чисельному розв'язуванні задачі точний оператор, в якому кількість чисел або операцій перевищує допустимі межі, замінюється наближеним, який потребує скінченої кількості операцій. Наприклад, замінюють інтеграл сумою, функцію - поліномом (багаточленом) або нескінченний процес обривають після скінченої кількості операцій.

4. Обчислювальна похибка, що виникає в результаті вимушеного округлення чисел, наприклад, внаслідок скінченої кількості розрядів у запису числа в оперативній пам'яті ЕОМ. Ця похибка накопичується впродовж розрахунків.

Всі описані типи похибок в сумі дають повну похибку результату обчислень. Оскільки перший тип похибок не можна зменшити за рахунок точності обчислень, то слугує лише орієнтиром точності, з якою слід розраховувати математичну модель. Немає сенсу вирішувати задачу істотно точніше, ніж це диктується невизначеністю вхідних даних. Таким чином, похибка методу підпорядковує похибки розв'язку завдання.

Основні задачі дослідження похибок

1. Оцінка точності результату в залежності від різних видів похибок або оцінка повної похибки;
2. оцінити степінь точності результатів, знаючи степінь точності вхідних даних (пряма задача);

 При роботі з наближеними величинами необхідно вміти брати вхідні дані з таким степенем точності, щоб забезпечити задану точність результату, причому не сильно підвищуючи точність вхідних даних, для того щоб позбутися непотрібних розрахунків (обернена задача).