Аксиоматическая теория целых неотрицательных чисел

Контрольная работа

Тема «Аксиоматическая теория целых неотрицательных чисел»

1. Проверьте выполнимость аксиом Пеано для множества 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …

Аксиомы Пеано:

1.Существует натуральное число 5, непосредственно не следующее не за каким числом, т. е для (а) а'#5.

2. Для любого натурального а числа существует одно и только одно непосредственно следующее число а'. За 5-6, за 6-7, 7-8 …..

3. Любое натуральное число, кроме 5 непосредственно следует за одним и только одним натуральным числом . За 5-6, за 6-7, 7-8 …..

4. НЕ выполняется, т.к. данное множество не содержит 1.

2. Докажите, используя метод математической индукции, что для любого натурального числа n истинно равенство: 1+2+22+…+2n=2n-1

Решение:

Убедимся в истинности данного равенства для n = 1. При n = 1 левая часть равенства равна 2, правая часть равна 21 -1=1-ложь

3. Примените законы сложения, умножения и вычислите результат; каждый случай использования законов объясните:

a) (9073+1329)+2671= 9073+(1329+2671)= 9073+ 4000=13073 (ассоциативный закон сложения)

b) 125*15*6*8= (125х8) Х (15Х6)= 1000х90=90000 (коммуникативный и ассоциативный законы умножения)

4. Запишите дистрибутивный закон умножения относительно сложения для натуральных чисел и, используя его, вычислите значение выражения:

a) 57*247+57*362= 57х(247+362)= 57х609=34713

В)37*42+37*36-78*27= 37х(42+36-27)= 37х51=1887

5. В драматическом кружке занимаются 6 учеников, в кружке художественного чтения 4 ученика. Сколько всего учеников зани¬мается в этих двух кружках? Рассмотрите все возможные случаи.

D- множество учеников, которые занимаются в драматическом кружке, Х- множество учеников, которые занимаются в художественном кружке.

1. DUX, если D∩X=Ø, то n(DUX) = 6+4=10

2 . DUX, если D∩X=1, то n(DUX) = 6+3=9

3.DUX, если D∩X=2, то n(DUX) = 6+2=8

4. DUX, если D∩X=3, то n(DUX) = 6+1=7

5. DUX, если X D, то 6+0=6

6. Пользуясь коммутативным законом сложения, напишите выражения, равные данному:

a) 37+5= 5+37

b) (8+16)+9= 9+(16+8)

c) (а+b)+с= с+(b+a)

7. Применяя ассоциативный закон сложения, замените каждую сумму равной:

а) (2873+45 681)+34319= 2873+(45 681+34319)

б) 57 867+(22 133+799 495)= (57 867+22 133)+799 495

8. Укажите закон сложения, на котором основано вычисление суммы:

9 + 6 = 9 + (1 + 5) = (9 + 1) + 5 = 10 + 5 = 15- ассоциативный