Аксиоматическая теория целых неотрицательных чисел

Контрольная работа

Тема «Аксиоматическая теория целых неотрицательных чисел»

1. Проверьте выполнимость аксиом Пеано для множества 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …

Теорема 2. Любое, число имеет предшествующее число и притом только одно.

Доказательство. Пусть М — множество, содержащее 1 и все числа, имеющие хотя бы одно предшествующее число.

А) 1 принадлежит М, Б) если а принадлежит М, то и а' также принадлежит М, ибо а' имеет предшествующее число а (предположение, что а принадлежит М, здесь даже излишне). По аксиоме IV множество М содержит все числа. Значит, любое число имеет по крайней мере одно предшествующее.Единственность предшествующего числа следует из аксиомы III, согласно которой любое число имеет не более одного предшествующего.

2. Докажите, используя метод математической индукции, что для любого натурального числа n истинно равенство: 1+2+22+…+2n=2n-1/

Докажем методом математической индукции равенство 1+3+5+…+(2n-1)=n2.

Решение.

Базис индукции. n=1: 1=1 — равенство выполняется.

3. Примените законы сложения, умножения и вычислите результат; каждый случай использования законов объясните:

a) (9073+1329)+2671;

b) 125*15*6*8.

Решение:

а) (9073+1329)+2671; Применим ассоциативное свойство сложения, переставим скобки.

= 9073+(1329+2671)= Выполним сложение в скобках и найдем окончательный результат. =9073+4000=13073

b) 125*15*6*8. Применим сочетательный закон умножения =(125*15)*8*6=625*8*6=5000*6=30000

4. Запишите дистрибутивный закон умножения относительно сложения для натуральных чисел и, используя его, вычислите значение выражения:

a) 57*247+57*362=57*(247+362)=57*609=34713;

b) 37*42+37*36-78*27=37*(42+36)-78*27=(37*78)-(78*27)=2886-2106=780.

5. В драматическом кружке занимаются 6 учеников, в кружке художественного чтения 4 ученика. Сколько всего учеников занимается в этих двух кружках? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение:

Драматический кружок-6 учеников

Кружок худ.чтения-4 ученика

Сколько всего-?

6+4=10

Ответ: всего 10 учеников занимаются в этих двух кружках.

6. Пользуясь коммутативным законом сложения, напишите выражения, равные данному:

a) 37+5=5+37;

b) (8+16)+9=8+(16+9)=16+(8+9);

c) (а+b)+с=a+(b+c)=b+(a+c).

7. Применяя ассоциативный закон сложения, замените каждую сумму равной:

а) (2873+45 681)+34319=2873+(45 681+34319)=2873+80000=82873;

б) 57 867+(22 133+799 495)= (57 867+22 133)+799 495=80000+799495=879495.

8. Укажите закон сложения, на котором основано вычисление суммы:

...