Аксиоматическая теория

2020 г.

Вариант 1.ИТП по теме «Аксиоматическая теория»

Вариант II

I. Выполнить задания типа T1, T2, T3:

T1. Заполните пропуск, используя определения понятий и их свойства:

        А1. Основным понятием в аксиоматической теории целых неотрицательных чисел является понятие «непосредственно следовать за», заданное на непустом множестве N.

        А2. Ассоциативный закон сложения натуральных чисел символически записывается в виде

        А3. Умножение натуральных чисел обладает свойствами: коммутативности:  

ассоциативности:  

дистрибутивности относительно сложения

сократимости:

T2. Установите истинность или ложность высказываний:

        А4. Система, имеющая два начальных элемента, не является моделью множества натуральных чисел.

        Данное высказывание истинно, так как по 2-ой аксиоме Пеано за каждым натуральным числом следует только одно натуральное число, а по 3-ей аксиоме Пеано каждое натуральное число следует не более чем за одним натуральным числом.

        А5. Следующая модель является моделью множества натуральных чисел: {-3, -6, -12, -24,…}.

        Данное высказывание истинно, так как указанное числовое множество представляет собой числовую последовательность заданную рекуррентно формулой  а, следовательно, соответствие  между данным множеством чисел и множеством натуральных чисел является биекцией и таким образом, позволяет ввести на данном множестве понятие  «непосредственно следовать за» перенося его с номеров последовательности на члены с такими номерами.

        А6. Следующая модель является моделью множества натуральных чисел:

        Данное высказывание ложно, так как в указанной модели имеется два начальных элемента.

        А7. Система аксиом должна быть зависимой и полной.

        Данное высказывание ложно, так как система аксиом должна быть независимой, т.е. никакая из её аксиом не должна вытекать из других аксиом системы аксиом. (Условие независимости системы аксиом иногда нарушается с целью упрощения теории. Как например в курсе геометрии средней школы).

T3. Выберите верный ответ:

        А8. Непротиворечивость системы аксиом означает, что:

        а) ни одну из аксиом нельзя доказать с помощью других аксиом;

        б) на базе этой системы нельзя одновременно доказать некоторое утверждение и его отрицание;

        в) на базе этой системы можно решить любую задачу, относящуюся к данной теории;

        г) данных аксиом достаточно для построения всей системы.

        Ответ: б) на базе этой системы нельзя одновременно доказать некоторое утверждение и его отрицание.

        А9. Одна из аксиом теории целых неотрицательных чисел формулируется:

        а) сложение целых неотрицательных чисел коммутативно;

        б) существует начальный элемент, который не следует ни за каким другим элементом;

        в) если элемент в непосредственно следует за элементом а, то а непосредственно предшествует элементу в;

        г) для каждого элемента существует более одного следующего элемента.

        Ответ: б) существует начальный элемент, который не следует ни за каким другим элементом.

        А10. Сложение во множестве целых неотрицательных чисел:

        а) ассоциативно;